t秒後の平均稼働台数をx(t) [台]とする。

Δtを十分小さいとする。
t秒後からt+Δt秒後の間に故障する機器の平均台数は、

x(t) - x(t+Δt) [台]　…　（１）

である。

t1をt ≦ t1 ≦ t+Δtとする。
Δtは十分小さいから、t秒後からt+Δt秒後の間の平均稼働台数はx(t1) [台]と考えてよい。
考えている機器の故障率は、λ=10^-6 [回/秒]であるから、t秒後からt+Δt秒後の間に故障する回数は、
1台当たり平均λ×Δt [回]と考えられる。
したがって、x(t1) [台]の機器が、t秒後からt+Δt秒後の間に故障するトータルの回数は平均、

λ×Δt×x(t1) [回]　…　（２）

と考えられる。

（１）＝（２）と考えられる（本当か？）から、

x(t) - x(t+Δt) = λ Δt x(t1)

が成り立つ。

両辺を-Δtで割ると、{x(t+Δt) - x(t)} / Δt = -λ×x(t1)
となる。Δt -> 0とすると、

d/dt x(t) = -λ×x(t)

となり、これを解くと、x(t) = C exp(-λt)となるが、t=0のときx(t)=1000であるから
x(t) = 1000 exp(-λt)となる。