>>21がa[n] = √(1/n+a[n+1])のミスだとして、
これをa[n+1]について解くと
a[n+1]=a[n]^2-(1/n)だよね？
この数列は収束するのか？
初期値によっては明らかに発散するんだが。

それから、仮にn→∞でa[n]→0に収束するとしても、
それはa[1]を求める手がかりになるのか？
例えばb[n+1]=(1/2)b[n]がn→∞で0に収束するのは任意の初期値b[1]について成り立つから、
b[1]を求めるヒントにはならないぞ。