>>395

f(x)は微分可能な実関数であることを仮定してよい。そこでf(x)は微分可能な実関数なることを仮定する。
すると、g(x)＝f(x)-x　とおけばg(x)は微分可能な実関数である。
[第一段]、a＜bなる如何なる2点a、bを取ろうともg(a)≠g(b)なることを示す。
a＜bなる或る2点a、bに対してg(a)＝g(b)であったとすると、
g(x)は閉区間[a、b]で連続であって、開区間(a、b)で微分可能だから、
Rolleの定理により、a＜t＜bなる或る点tが存在してg'(t)＝0となるが、
g(x)の導関数はg'(x)＝f'(x)-1であるから、f'(t)-1＝0　即ち、f'(t)＝1となる。
然るに、これは|f'(t)|＜1/2　であることに反し矛盾する。
[第二段]、g(x)は単調減少であることを示す。
第一段の結果から、g(x)は単調増加であるか、或いは単調減少である。
ここで、g(x)は単調増加であったとすると、任意の点xに対してg'(x)＝f'(x)-1＞0　即ち、f'(x)＞1となるが、
これは|f'(t)|＜1/2　に反して矛盾する。よってg(x)は単調減少である。