>>835-836

2＜e＜3＜π＜4から、π＜4＜2^e＜2^3＝8＜3^2＜π^2　即ち　π＜2^e＜π^2　だから、対数関数の単調増加性に注意すれば、
log(π)＜log(2^e)＜log(π^2)　だから、C＝e・log(2)/log(π)　とおけば、有理数の稠密性により、e＜aC＜3なる有理数aが無限個存在する。
よって、任意の項a_n、n≧1が　e＜a_n・C＜3　を満たすような単調減少列{a_n}が存在する。
今、矛盾に導くことでCが無理数なることを示すために、Cが有理数であったとする。
すると、任意のn≧1に対してa_n・C、n≧1　は有理数である。今、有理数a_n・C、n≧1を任意に取る。
すると、b_n＝a_n・C　とおけば、共に或る自然数i≧2、jにより　b_n＝j/i　と表わせ、
よってi!・b_nは自然数である。ここに、e＜b_n＜3。
また、i!・Σ1/(k!)　級数は0≦k≦iの範囲を走る(以下省略)　は自然数である。
よって、M(n)＝i!・b_n－i!・Σ1/(k!)　とおけば、M(n)は自然数である。ここで、
M(n)＝i!・(b_n－e)＋i!・(e－Σ1/(k!))
　＝i!・(b_n－e)＋i!・Σ1/(k!)　級数はk≧i+1の範囲を走る(以下省略)
　＜i!・(b_n－e)＋1　　　(∵　i!・Σ1/(k!)＜1)　　。
従って、I(n)＝i!・(b_n－e)＋1　とおけば、 M(n)はI(n)より小さい自然数である。ここに、M(n)＜I(n)　……①。
自然数n≧1、有理数b_n＝a_n・Cは共に任意だから、n≧1を走らせて考えると、単調減少有界な有理数列{b_n}の下限をLとすれば、
L＝eであり、n→+∞　のとき　b_n→e。従って、①に注意すると、n→+∞　とすれば　I(n)→0　であって、　M(n)→0　となる。
即ち、数列{M(n)}について、任意のε＞0に対して或る自然数N(ε)が存在して、n≧N(ε)　のとき　M(n)＜ε。
然るに、各項M(n)、n≧1は自然数であるから、0＜ε＜1　とすると矛盾が生じる。
これでCは無理数であることが示された。

まだ未完全だが、一応無理性は示せた。意外に複雑だったみたい。