>>236
2＜e＜3＜π＜4から、π＜4＜2^e＜2^3＝8＜3^2＜π^2　即ち　π＜2^e＜π^2　だから、対数関数の単調増加性に注意すれば、
log(π)＜log(2^e)＜log(π^2)　から　C＝e・log(2)/log(π)　とおけば、1＜C＜2。
今、矛盾に導くことでCが無理数なることを示すために、C'＝C/3が有理数であったとすると、
共に或る自然数m≧2、nにより　C'＝n/m　と表わせ、よってm!・C'は自然数である。ここに1＜C＜2に注意すると、C'＜1。
また、m!・Σ1/(k!)　級数は0≦k≦mの範囲を走る(以下省略)　は自然数である。
よって、N＝m!・C'−m!・Σ1/(k!)　とおけば、Nは負整数である。ここで、
N＝m!・e・log(2)/log(π^3)−m!・Σ1/(k!)
　＝m!・e(log(2)/log(π^3)−1)＋m!・(e−Σ1/(k!))
　＝m!・e(log(2)/log(π^3)−1)＋m!・Σ1/(k!)　級数はk≧m+1の範囲を走る(以下省略)
であり、従って
|N|＝|m!・e(log(2)/log(π^3)−1)＋m!・Σ1/(k!)|
は自然数である。ところで、k≧m+1に注意して|N|を評価すると
|N||≦|m!・e(log(2)/log(π^3)−1)|＋|m!・Σ1/(k!)|
　　＝m!・e/log(π^3)・|log(2)−log(π^3)|＋m!・Σ1/(k!)
　　＝m!・e/log(π^3)・log_{π^3}(2)＋m!・Σ1/(k!)
　　＜2・m!・Σ1/(k!)　　(∵　e/log(π^3)・log_{π^3}(2)＜1)
　　＜2・Σ(1/2)^k　級数はk≧0の範囲を走る
　　＝Σ(1/2)^k　級数はk≧1の範囲を走る
　　＝1/(1−1/2)＝2
となる。よって、|N|＝1を得る。従って、負整数　N＝-1　を元に戻せば、
m!・C'−m!・Σ1/(k!)＝-1　級数は0≦k≦mの範囲を走る(以下省略)
であり　C'＝Σ1/(k!)−1/(m!)＞1。然るに、これはC'＜1に反し矛盾する。
背理法により、これで、C'＝C/3＝e・log(2)/log(π)　が無理数であることが示され、よってCは無理数であることが示された。

2チャンだとΣの級数が書きにくいんだよな。