e・log(2)/log(π)が無理数であることの証明書いてみる。

2＜e＜3＜π＜4から、π＜4＜2^e＜2^3＝8＜3^2＜π^2　即ち　π＜2^e＜π^2　だから、対数関数の単調増加性に注意すれば、
log(π)＜log(2^e)＜2log(π)　から　C＝e・log(2)/log(π)　とおけば、1＜C＜2。
今、矛盾に導くことでCが無理数なることを示すために、Cが有理数であったとすると、
共に或る自然数m、nにより　C＝n/m　と表わせ、よって任意のk≧1に対して
C＝(a_k)/(b_k)を満たすような、共に単調増加なる2つの自然数列{a_k}、{b_k}が存在する。
ここに{b_k}について、或る自然数Mが存在して、k≧Mのとき　b_k≧max(C、2)。
このとき、k≧Mが任意であったとして再度　C＝(a_k)/(b_k)　と書き直せば、(b_k)!・Cは自然数である。ここに、1＜C＜2。
また、(b_k)!・Σ1/(k!)　級数は0≦k≦b_kの範囲を走る(以下省略)　は自然数である。
よって、N＝(b_k)!・C−(b_k)!・Σ1/(k!)　とおけば、Nは負整数である。ここで、
N＝(b_k)!・e・log(2)/log(π)−(b_k)!・Σ1/(k!)
　＝(b_k)!・e(log(2)/log(π)−1)＋(b_k)!・(e−Σ1/(k!))
　＝(b_k)!・e(log(2)/log(π)−1)＋(b_k)!・Σ1/(k!)　級数はk≧b_k+1の範囲を走る(以下省略)
であり、従って
|N|＝|(b_k)!・e(log(2)/log(π)−1)＋(b_k)!・Σ1/(k!)|
は自然数である。ところで、k≧b_k+1に注意して|N|を評価すると
|N|≦|(b_k)!・e(log(2)/log(π)−1)|＋|(b_k)!・Σ1/(k!)|
　　＜2・|(b_k)!・Σ1/(k!)|
　　＝2・(b_k)!・Σ1/(k!)＝2・Σ1/{(b_k+1)(b_k+2)・…・k}
　　＜2・Σ(1/2)^k　級数はk≧0の範囲を走る
　　＝Σ(1/2)^k　級数はk≧1の範囲を走る
　　＝1/(1−1/2)＝2
となるから、|N|＝1を得る。従って、負整数　N＝-1　を元に戻せば、
(b_k)!・C−(b_k)!・Σ1/(k!)＝-1　から　C＝(Σ1/(k!)−1)/(b_k)!　が有理数であることになり矛盾する。
これで、C＝e・log(2)/log(π)　は無理数であることが示された。