円x^2+y^2=9と直線y=-2x+1の交点と点(4,1)を通る円の方程式を求めよ　という問題で
模範解答では
一般に
x^2+y^2+lx+my+n=0 ax+by+c=0が異なる２点で交わるときに、２つの交点を通る円は
(x^2+y^2+lx+my+n)+k(ax+by+c)=0　とあらわせることを利用して解いているのですが

求める円の方程式をx^2+y^2+lx+my+n=0とおくとき
(x^2+y^2+lx+my+n)+k(x^2+y^2-9)=0・・・①　において
k=-1のとき2つの円の交点を通る直線を表すので
k=-1のとき
① lx+my+n+9=0
これがy=-2x+1すなわち2x+y-1=0に一致するので
l=2 m=1 n=-10
したがって、求める円の方程式は
x^2+y^2+2x+y-10=0

しかし、この答えは解答の x^2+y^2-2x-y-8=0と一致しません
(4,1)という情報も使っていません
どこがおかしいのでしょうか？
また、この方針で答えは出るでしょうか？