S=(0,∞)×R
φ:S→C-{0}, φ(r,θ)=r*Σ[n=0,∞](iθ)^n/n!
・*・:S×S→S, (r,θ)*(r',θ')=(r*r',θ+θ')
とするとφは各点の近傍で位相同型
(S,*)→(C-{0},*)として群準同型

log~:S→C, log~(r,θ)=∫[1,r]dt/t+iθ (全単射，積分は実関数として)
exp~:C→S, exp~=log~^{-1}
pow~:S×C→S, pow~(x,y)=exp~(y*log~(x))
と定義すると

pow~(x,y+z)=pow~(x,y)*pow~(x,z)
pow~(x,y*z)=pow~(pow~(x,y),z)
pow~(x*w,z)=pow~(x,z)*pow~(w,z)
(x,w∈S, y,z∈C)

φ(exp~(z))がいつものexp(z)になる
log~(φ^{-1}(z))がいつものlog(z)になる（多価）
φ(pow~(φ^{-1}(x),y))がいつものx^yになる（多価）
一価にしたい人はφ^{-1}(x)の代わりにψ(x)=(|x|,Arg(x))などを使う
これでみんな幸せ