短完全列
1→G→K→H→1 (f:G→K,g:K→H)
が、s:H→Kで分裂するとき、
準同型θ:H→Aut(G)と同型φ:G×[θ]H(θに誘導されたGとHの半直積)→Kが存在することを示したいのですが、
f(G)がK,s(H)の正規部分群,s(H)がKの部分群,K=f(G)s(H),f(G)∩s(H)={1}ということは示せて、あとは具体的にθ,φを構成しようとしたところで躓きました
φ:G×[θ]H∋(a,b)→f(a)s(b)∈K,θ:H∋b→I_[b]∈Aut(G) (I_[b]は内部自己同型写像)
のようにφとθをとれば上手くいくと思ったのですが、
この内部自己同型によってaがうつる先をbab^(-1)としようにもG,Hの包含関係は問題で特に言及されておらず、これがGの元であることが言えません
何らかの準同型写像ψ:H→Gを考えて、bab^(-1)のかわりにψ(b)a{ψ(b)}^(-1)としても、
φが準同型であることを示す段階でf(I_[b](a'))={s(b)}^(-1)f(a')s(b)となることを言わなければならず、
fとψの合成写像がsに等しくなるようなψが存在すると仮定すると、H≠{1}のときf(G)∩s(H)={1}に反してしまいます
ここで伺いたいのは、f,sが埋め込みなのでGとf(G),Hとs(H)が同型で、f(G)がs(H)の正規部分群であるので、
GとHの包含関係が明示されていないにもかかわらずGがHの正規部分群などと言ってもよいのでしょうか？
そもそも、「f(G)がKの正規部分群かつs(H)がKの部分群⇒f(G)がs(H)の正規部分群」ってあってますか？
よくよく考えると共通部分が単位元だけなのでf(G)が単位元だけになってしまうような気がするのですが・・・
しかしf(G)∋1より空集合でなく、Kの部分群なので逆演算について閉じていて、
g(s(b)f(a){s(b)}^(-1))=b・1・b^(-1)=1 (∵g:準同型,sで分裂⇔gとsの合成=identity,Kerg=f(G)よりg(f(a))=1)
だから、s(b)f(a){s(b)}^(-1)∈Kerg=f(G)となり、証明できてしまいます
一体何が間違っているのかお教え願えませんでしょうか？