ちょうど板チョコを分割する具合で、m*nのタイルをすべて1*1になるまで分割するまでのステップ数についての質問です。
・分割はタイルの境で一直線に行われ、この分割を1ステップとする
・一直線に繋がっていない直線は1ステップで分割することができない

m,nを定数としたとき、分割の順によらずステップ数は一定か、またその証明を教えてください。
例1) 2*1の場合 1ステップ 1通りの分割順
┏┳┓　┏┓┏┓
┗┻┛→┗┛┗┛

例2) 3*2の場合 5ステップ 56(?)通りの分割順
┏┳┳┓　┏┳┳┓　　┏┓┏┳┓　┏┓┏┓┏┓
┣╋╋┫→┗┻┻┛→　┗┛┗┻┛→┗┛┗┛┗┛
┗┻┻┛　┏┳┳┓　　┏┳┳┓　３┏┓┏┓┏┓
　　　　　┗┻┻┛　　┗┻┻┛　　┗┛┗┛┗┛

┏┳┳┓　┏┳┓┏┓　┏┳┓┏┓　┏┓┏┓┏┓
┣╋╋┫→┣╋┫┣┫→┗┻┛┣┫→┗┛┗┛┗┛
┗┻┻┛　┗┻┛┗┛　┏┳┓┗┛３┏┓┏┓┏┓
　　　　　　　　　　　┗┻┛　　　┗┛┗┛┗┛
（ただし矢印の下の数字分のステップを省略、分割順の場合の数はタイルそれぞれを識別できるものとしている）

よろしくお願いします。