>>777
cos(30°)＝√3/2　から、
tan^2(15°)＝sin^2(15°)/cos^2(15°)＝(1-cos(30°))/(1+cos(30°))＝(2-√3)/(2+√3)＝(2-√3)^2。
また、半径1の半円の弧の部分の長さはπである。
よって、半径1の円の中心Oを共有する角が15°であり、斜辺の長さが1であるような、直角3角形12個に対して、
2つの直角三角形が、点Oと、長さ1の斜辺或いは長さ1/(cos(15°))の辺
との両方を、共に同時に共有するように、2つずつ6回に渡って順に貼り合わせて行って考えると、π^2＜12tan^2(15°)＝12(2-√3)^2を得る。
π＞0だから、√2＋√3＞πを示すにあたっては、2(2-√3)√3＜√2＋√3、即ち、3√3＜6+√2　……①　を示せばよい。
然かるに、①は√3/2＜1+√2/6と同値であり、√3/2＜1であるから、①は確かに成り立つ。
よって、√2＋√3＞2(2-√3)√3＞π　であり、示すべき不等式を得る。

by　何とかの人
まあ、書き込もうとすると投稿の承諾が云々何とやらが出て来ますが、これ位はいいでしょう。