まず、補題として、
高さが共通な三角形の面積比は底辺の比に等しい
ことを示す。

三角形の面積は、それに外接する長方形の半分。
三角形を二つの直角三角形に分割してみれば解る。
よって、高さが共通な三角形の面積比は、
高さが共通な長方形の面積比に等しく、
底辺の比とも等しい。

ここから本題。
△ABC の辺BC 上に点P をとり、∠ABC と∠APQ が
等しくなるように、辺AC 上に点Q をとる。
同位角が等しいので、BC と PQ は平行である。
△BPQ と△CPQ の面積は、高さと底辺が共通なので等しい。
これにより、
AP:BP = △APQ:△BPQ = △APQ:△CPQ = AQ:QC が言える。

三角形の内角の和が 180゜であることより、
二角相等は直ちに三角相等だから、
上記証明で三頂点の役割を入れ換えることで、
結局、三辺辺比相等が言える。