例えば、前スレの>>681の一般化ね。

[命題]：n≧3を任意の自然数とする。n≧3個の正の実数を　a_1、…、a_n　とする。a_1、…、a_nの中から
何れも任意に有限個を選んで出来るような4つの有限個の実数の積をK、L、M、Nとする。
条件i≠jの下で共に或る　a_i、a_j、i、j＝1、…、n　に対して　(a_i)^{K/L}＝(a_j)^{M/N}　……①
が成り立つとする。このとき　a_i＝a_j　である。
証明]仮定から、4つの積K、L、M、N＞0は何れも任意に固定された実数と仮定してよい。
そこで、以下そのように仮定して　a_i＝a_jを導く。①から　(a_i)^{NK}＝(a_j)^{LM}　……②。
M_1＝max(NK、LM)、　M_2＝min(NK、LM)　とおく。a_i、a_jについて場合分けをする。
Case1)1≦a_i≦a_jのとき。このとき、指数関数(a_i)^x、(a_j)^xは共に単調非減少だから、1≦(a_i)^{M_2}≦(a_j)^{M_1}。
よって、②から、M_2＝NK＝LM＝M_1、であり、a_i＝a_j。
Case2)1≦a_j≦a_iのとき。Case1と同様に考えれば、a_i＝a_j　を得る。