あと、選択公理を仮定すれば
p進の場合でもexpを0の近傍だけじゃなく全体で定義できます(もちろんカノニカルではないけど)。
そして0を除いた全体に延長したlogに対して、必ず log(exp(x))=x が成り立ちます。
参考までに。