自分の趣味はこうだな。

乗法的なモノイドの元 x の自然数 n 乗については
x^0 = 1
x^{n + 1} = x^n x
で、x が可逆ならば
x^{-n} = (x^{-1})^n
として整数 -n < 0 に対しても定義。ここで x^{-1} は x の逆元。

x が実数や複素数やp進数（その拡大体の元も含む）等の局所体の場合で、y が整数ではない場合、
x^y = exp(log(x) y)
と定義。ただし、log が多価だと記法上うまくないし、1 の近傍でしか定義されないのは不便だし、exp も 0 の近傍でしか定義されないのは不便だから、実や複素の場合は log は主値を選んでおく。自分の趣味は
log x =\int_1^x ds / s
で上半平面は上半平面内のパス、下半平面は下半平面内のパス、負の実数は下半平面内のパス。p進数の場合は
x = p^{ord x} teich(x) exp(log(x))
がなりたつ様に素元部分を省いてタイヒミュラー指標で割って 1 の近傍に正規化して log を取る。
exp は x の「小数部分」というか素元の倍元部分の exp を取る。
ですね。