>>708
はい、「一つの関数とする有用性」は全くありません。

0^0という「約束」とすることで
・集合論的に φ^φ=1であること
・冪級数、二項級数などの扱いが楽になること
の2点について、前者では「函数と離れて」自然な意味を持ち、
後者で「便利」さがあるだけです。
おそらく、本質的には上記2点以外に「意味」「便利」はないでしょう。

あなたが例に挙げた
sin(x)/x　(x≠0)
= 0　　　　 (x=0)
の場合なら、連続性から = 1 (x=0) と約束する方が「数学的に自然」で
しょうし、=0 (x=0) とする「矛盾のない約束」には、全く「意味」も
「便利」もないでしょうねｗ
同様に、 0!＝Γ(1)=1 という「約束」は、数学的な自然さを持ち得ますが
他の値に定めても、「意味」も「便利」もないでしょう。

0^0=1という「約束」は、あなたの例とも、0!とも全く異なる話で、
「数学的自然さは持たないが、時折便利な状況がある」
という、他にはない特異なケースだと思います。