0^0 = 0/0
という考えは、指数法則を使って
　0^0 = 0^(1-1) = 0^1 * 0^-1 = 0/0
という所から来ている。でもそれは、0^-1 が存在するならの話。

２つ目の証明の方は
(1) a^1 = a
(2) a^(n+1) = a^n * a
から来ているが、これから数学的帰納法によって証明されるのは
　0^n = 0 (n>0)
ということであって
　0^0 = 0
と考えるのは間違い。