べき乗 x^y に対して、極限値
　lim[x→0,y→0]x^y
は決まらない。もっと言えば、定数c>0 に対して
　lim[x→+0]lim[y→log c/log x]x^y = c
であるから、極限値は任意の正の実数とすることができる。
これを根拠に 0^0 は定義できないという意見が出ることもあるので、反論しておこう。

実は、極限値を自由に変えられる関数は、簡単に作れる。
たとえば、正弦波を表す関数
　sin(x)
と、矩形波を表す関数
　sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + ...
を、変数yにより組み合わせて
　f(x,y) = sin(x) + y sin(3x)/3 + y^2 sin(5x)/5 + ...
という関数を作る。

この関数も、極限値
　lim[x→0,y→1]f(x,y)
は決まらないし、x,yに関連性をもたせると
　lim[x→+0]lim[y→1-cx]f(x,y) = (1/2)arctan(2/c)
のように、ある程度自由にできる。

だからと言って
　f(0,1) = 0
となることは、すぐに分かると思う。
このように、関数に連続性が無くても値は決まることがある。
考えてみれば当たり前だが。