初等整数論の問題３
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0001１３２人目の素数さん
2014/05/14(水) 01:53:20.74初等整数論の問題
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1286119277/
初等整数論の問題②
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1289917753/
0002１３２人目の素数さん
2014/05/14(水) 01:54:00.640003１３２人目の素数さん
2014/05/15(木) 22:41:13.19y|(xz-1)
z|(xy-1)
を満たす整数x,y,zを求めよ。
0004１３２人目の素数さん
2014/05/15(木) 23:06:44.180005１３２人目の素数さん
2014/05/15(木) 23:38:01.140006１３２人目の素数さん
2014/05/16(金) 08:44:32.230007１３２人目の素数さん
2014/05/17(土) 11:09:44.36(-1,-1,n)
(1,1,n)
(-1,n,-1-n)
(1,n,1-n)
(-8,-5,3)
(-7,-3,2)
(-5,-3,-2)
(-3,-2,1)
(-3,5,8)
(-2,3,7)
(-1,2,3)
(2,3,5)
0008１３２人目の素数さん
2014/05/18(日) 21:51:14.71xyz|(xy+xz+yz-1)
1|(1/x+1/y+1/z-1/xyz)
0009１３２人目の素数さん
2014/05/20(火) 13:26:38.171/x+1/y+1/z-1/xyz=2だとx,y,zのうち一つは１
z=1とすると
1/x+1/y-1/xy=1
(1/x-1)(1/y-1)=0
x=1ory=1
(1,1,a)
ｎが１以上の整数のとき（２ｎ）！／（ｎ！）＾２が２ｎ－１の倍数であることを示せ。
ｎが３以上の整数のとき（３ｎ）！／（ｎ！）＾３がｎ＋２の倍数であることを示せ。
ｎが６以上の整数のとき（３ｎ）！／（ｎ！）＾３がｎ＋３の倍数であることを示せ。
0011１３２人目の素数さん
2014/05/22(木) 19:32:15.380012１３２人目の素数さん
2014/05/22(木) 19:35:32.890013１３２人目の素数さん
2014/05/25(日) 00:24:15.16a(0)=1 / 2
a(1)=1
a(2)=3
a(3)=10
a(4)=35
a(5)=126
a(6)=462
a(7)=1716
a(8)=6435
a(9)=24310
a(10)=92378
a(11)=352716
a(12)=1352078
a(13)=5200300
a(14)=20058300
a(15)=77558760
a(16)=300540195
a(17)=1166803110
a(18)=4537567650
a(19)=17672631900
a(20)=68923264410
a(21)=269128937220
a(22)=1052049481860
a(23)=4116715363800
a(24)=16123801841550
a(25)=63205303218876
a(26)=247959266474052
a(27)=973469712824056
a(28)=3824345300380220
a(29)=15033633249770520
a(30)=59132290782430712
0014１３２人目の素数さん
2014/05/25(日) 00:25:20.46a(0)=-1
a(1)=2
a(2)=2
a(3)=4
a(4)=10
a(5)=28
a(6)=84
a(7)=264
a(8)=858
a(9)=2860
a(10)=9724
a(11)=33592
a(12)=117572
a(13)=416024
a(14)=1485800
a(15)=5348880
a(16)=19389690
a(17)=70715340
a(18)=259289580
a(19)=955277400
a(20)=3534526380
a(21)=13128240840
a(22)=48932534040
a(23)=182965127280
a(24)=686119227300
a(25)=2579808294648
a(26)=9723892802904
a(27)=36734706144304
a(28)=139067101832008
a(29)=527495903500720
a(30)=2004484433302736
0015１３２人目の素数さん
2014/05/25(日) 00:26:25.95a(0)=1 / 2
a(1)=2
a(2)=45 / 2
a(3)=336
a(4)=5775
a(5)=108108
a(6)=2144142
a(7)=44341440
a(8)=946551177
a(9)=20715766500
a(10)=462583065945
a(11)=10502076574080
a(12)=241766554465800
a(13)=5631873204857760
a(14)=132535791619420500
a(15)=3146763516786743040
a(16)=75296970244778615685
a(17)=1814203089306904180500
a(18)=43980986374290153012825
a(19)=1072112687240313979260000
a(20)=26265055203567082901448450
a(21)=646364286648209277057709800
a(22)=15972142289902030895888862000
a(23)=396171930407647863806443491840
a(24)=9860649509845802699909976735000
a(25)=246212967992331143254712187090528
a(26)=6165886590447002846389086708957912
a(27)=154834013203562029756919651485340160
a(28)=3897985780872430109852328991360654176
a(29)=98365419248819445716383999210470422400
a(30)=2487743423985351131705448326698805707848
0016１３２人目の素数さん
2014/05/25(日) 00:27:29.35a(0)=1 / 3
a(1)=3 / 2
a(2)=18
a(3)=280
a(4)=4950
a(5)=189189 / 2
a(6)=1905904
a(7)=39907296
a(8)=860501070
a(9)=18989452625
a(10)=426999753180
a(11)=9751928247360
a(12)=225648784168080
a(13)=5279881129554150
a(14)=124739568582984000
a(15)=2971943321409701760
a(16)=71333971810842899070
a(17)=1723492934841558971475
a(18)=41886653689800145726500
a(19)=1023380292365754252930000
a(20)=25123096281672861905733300
a(21)=619432441371200557180305225
a(22)=15333256598305949660053307520
a(23)=380934548468892176736964896000
a(24)=9495440268740402599913310930000
a(25)=237419647706890745281329608980152
a(26)=5953269811466071713754980270717984
a(27)=149672879430109962098355663102495488
a(28)=3772244304070093654695802249703858880
a(29)=95291499897293838037746999235143221700
a(30)=2412357259622158673168919589526114625792
0017１３２人目の素数さん
2014/06/01(日) 23:46:52.26ｎが３２の倍数でない整数のときｘ＾８≡１６（ｍｏｄ．ｎ）が整数解を持つことを示せ。
0019１３２人目の素数さん
2014/06/07(土) 08:24:36.07n=2,x=0(mod.n)
n=3,x=1,2(mod.n)
n=4,x=0,2(mod.n)
n=5,x=1,2,3,4(mod.n)
n=6,x=2,4(mod.n)
n=7,x=3,4(mod.n)
n=8,x=0,2,4,6(mod.n)
n=9,x=4,5(mod.n)
n=10,x=2,4,6,8(mod.n)
n=11,x=3,8(mod.n)
n=12,x=2,4,8,10(mod.n)
n=13,x=4,6,7,9(mod.n)
n=14,x=4,10(mod.n)
n=15,x=1,2,4,7,8,11,13,14(mod.n)
n=16,x=0,2,4,6,8,10,12,14(mod.n)
n=17,x=3,5,6,7,10,11,12,14(mod.n)
n=18,x=4,14(mod.n)
n=19,x=6,13(mod.n)
n=20,x=2,4,6,8,12,14,16,18(mod.n)
n=21,x=4,10,11,17(mod.n)
n=22,x=8,14(mod.n)
n=23,x=5,18(mod.n)
n=24,x=2,4,8,10,14,16,20,22(mod.n)
n=25,x=6,8,17,19(mod.n)
n=26,x=4,6,20,22(mod.n)
n=27,x=5,22(mod.n)
n=28,x=4,10,18,24(mod.n)
n=29,x=11,13,16,18(mod.n)
n=30,x=2,4,8,14,16,22,26,28(mod.n)
n=31,x=8,23(mod.n)
n=32,x=(mod.n)
0020１３２人目の素数さん
2014/06/07(土) 08:25:38.73n=34,x=6,10,12,14,20,22,24,28(mod.n)
n=35,x=3,4,11,17,18,24,31,32(mod.n)
n=36,x=4,14,22,32(mod.n)
n=37,x=5,7,30,32(mod.n)
n=38,x=6,32(mod.n)
n=39,x=4,7,17,19,20,22,32,35(mod.n)
n=40,x=2,4,6,8,12,14,16,18,22,24,26,28,32,34,36,38(mod.n)
n=41,x=8,10,11,17,24,30,31,33(mod.n)
n=42,x=4,10,32,38(mod.n)
n=43,x=16,27(mod.n)
n=44,x=8,14,30,36(mod.n)
n=45,x=4,13,14,22,23,31,32,41(mod.n)
n=46,x=18,28(mod.n)
n=47,x=7,40(mod.n)
n=48,x=2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46(mod.n)
n=49,x=10,39(mod.n)
n=50,x=6,8,42,44(mod.n)
n=51,x=5,7,10,11,14,20,22,23,28,29,31,37,40,41,44,46(mod.n)
n=52,x=4,6,20,22,30,32,46,48(mod.n)
n=53,x=22,24,29,31(mod.n)
n=54,x=22,32(mod.n)
n=55,x=3,8,14,19,36,41,47,52(mod.n)
n=56,x=4,10,18,24,32,38,46,52(mod.n)
n=57,x=13,25,32,44(mod.n)
n=58,x=16,18,40,42(mod.n)
n=59,x=23,36(mod.n)
n=60,x=2,4,8,14,16,22,26,28,32,34,38,44,46,52,56,58(mod.n)
n=61,x=10,12,49,51(mod.n)
n=62,x=8,54(mod.n)
n=63,x=4,31,32,59(mod.n)
n=64,x=(mod.n)
0021１３２人目の素数さん
2014/06/07(土) 08:26:14.19n=66,x=8,14,52,58(mod.n)
n=67,x=20,47(mod.n)
n=68,x=6,10,12,14,20,22,24,28,40,44,46,48,54,56,58,62(mod.n)
n=69,x=5,28,41,64(mod.n)
n=70,x=4,18,24,32,38,46,52,66(mod.n)
n=71,x=12,59(mod.n)
n=72,x=4,14,22,32,40,50,58,68(mod.n)
n=73,x=12,26,28,32,41,45,47,61(mod.n)
n=74,x=30,32,42,44(mod.n)
n=75,x=8,17,19,31,44,56,58,67(mod.n)
n=76,x=6,32,44,70(mod.n)
n=77,x=3,25,52,74(mod.n)
n=78,x=4,20,22,32,46,56,58,74(mod.n)
n=79,x=9,70(mod.n)
n=80,x=2,4,6,8,12,14,16,18,22,24,26,28,32,34,36,38,42,44,46,48,52,54,56,58,62,64,66,68,72,74,76,78(mod.n)
n=81,x=22,59(mod.n)
n=82,x=8,10,24,30,52,58,72,74(mod.n)
n=83,x=9,74(mod.n)
n=84,x=4,10,32,38,46,52,74,80(mod.n)
n=85,x=3,6,7,11,12,14,22,23,24,27,28,29,31,37,39,41,44,46,48,54,56,57,58,61,62,63,71,73,74,78,79,82(mod.n)
n=86,x=16,70(mod.n)
n=87,x=11,13,16,40,47,71,74,76(mod.n)
n=88,x=8,14,30,36,52,58,74,80(mod.n)
n=89,x=25,33,35,40,49,54,56,64(mod.n)
n=90,x=4,14,22,32,58,68,76,86(mod.n)
n=91,x=4,17,32,45,46,59,74,87(mod.n)
n=92,x=18,28,64,74(mod.n)
n=93,x=8,23,70,85(mod.n)
n=94,x=40,54(mod.n)
n=95,x=6,13,32,44,51,63,82,89(mod.n)
n=96,x=(mod.n)
0022１３２人目の素数さん
2014/06/07(土) 08:26:45.99n=98,x=10,88(mod.n)
n=99,x=14,41,58,85(mod.n)
n=100,x=6,8,42,44,56,58,92,94(mod.n)
0023１３２人目の素数さん
2014/06/11(水) 01:57:59.83二項係数をC(a,b)と書くことにする。
＞（２ｎ）！／（ｎ！）＾２が２の倍数であること
C(2n,n)=2C(2n-1,n)より明らか。
＞（２ｎ）！／（ｎ！）＾２が２ｎ－１の倍数であること
C(2n,n)=2C(2n-1,n)だから、C(2n-1,n)が2n-1で割り切れることが言えればよい。
nC(2n-1,n)=(2n-1)C(2n-2,n-1)
ここでnと2n-1は互いに素だから、C(2n-1,n)が2n-1で割り切れることがいえる
よっていえた。
>>18
＞ｎが素数のときｘ＾８≡１６（ｍｏｄ．ｎ）
n=2のときは明らか
nが奇素数のとき
2or-2が平方剰余のとき、16=2^4=(-2)^4より明らか
2,-2が平方非剰余のとき、-4=2・-2が平方剰余
x^2≡-4 (mod n)をみたすxが存在する。
このとき、(1+x/2)^8≡{(x^2+4)/4+x}^4≡x^4≡(x^2)^2≡(-4)^2≡16 (mod n)
よって、いえた。
＞ｎが３２の倍数でない整数のときｘ＾８≡１６（ｍｏｄ．ｎ）が整数解を持つことを示せ。
n=4,8,16のときは明らか
上記より、nが素数のときはいえた。
したがって、下記にあるHensel's lemmaとChinese remainder theoremより明らか。
http://en.wikipedia.org/wiki/Hensel's_lemma
http://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem
0024１３２人目の素数さん
2014/06/11(水) 04:12:07.66ヘンゼルは使わなくてもできるね
ヒントから察するに使って欲しそうにも見えるけど
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