>>89
要はx^2 + 1 = (x + i)(x - i)と複素数の範囲で因数分解して、
部分分数分解してから微分したらということかと。

ggってみたら、
> 岩波の数学公式集に
> (d/dx)^n arctan(x)
>　= (n-1)! {cos^n (arctan(x))} sin{n[arctan(x) + (π/2)]}
ってのが見つかった。一般式はいずれにせよややこしいみたいね。

単純にマクローリン展開の係数を求めたいだけなら、
y = 1/(1 + x^2)　⇒ y' = -2x/(1 + x^2)^2
∴ (1 + x^2)y' + 2xy = 0

これをライプニッツの公式（C(n, r)は組み合わせの数）
(fg)^(n) = f^(n) g + C(n,1) f^(n-1) g^(1) + C(n,2) f^(n-2) g^(2)
　　　　　　　　　+ ・・・+ f g^(n)でn階微分すると
(1 + x^2)(d/dx)^(n+1) y + 2(n + 1)x(d/dx)^n y + n(n + 1)(d/dx)^(n - 1) y = 0

ここにx = 0を代入すると、(d/dx)^(n+1) y|x=0 = -n(n + 1)(d/dx)^(n - 1) y|x=0
となる。だから後は偶奇で場合わけすればおｋ