(>>767の続き)
2-3)a＝ρ＝σのとき。a_n＜aなる自然数nが高々有限個でなかったとする。
a_n＜aなる自然数nが高々有限個でなかったとする。
すると、或る自然数Mが存在して、任意の自然数i≧Mに対して、a(i)＜aとなるような(a_n)の部分列{a(i)}が存在する。
部分列{a(i)}から1つの項a(k)を任意に取り、b＝a-a(k)とおけば、b＞0。
ε'＜bなる正の実数ε'を任意に取ると、ε'に対して或る自然数N'が存在して、
n≧N'のとき|a_n-a|≦ε'＜a-a(k)、即ち、a_n＞a(k)。よって、i≧N'のとき、a(k)＜a(i)＜aから0＜|a(i)-a|＜b。
このとき、各i≧N'に対して0＜ε_1(i)＜|a(i)-a|なる実数ε_1(i)が定まり、数列{ε_1(i)}が存在する。
{ε_1(i)}の項ε_1(i)＞0を任意に取り、b'_1(i)＝b-ε_1(i)とおけば、b'_1(i)＞0。
ε'_1＜b'_1(i)なる正の実数ε'_1を任意に取ると、ε'_1に対して或る自然数N'_1が存在して、
n≧N'_1のとき|a_n-a|≦ε'_1＜b-ε_1(i)＝a-a(k)-ε_1(i)、即ち、a_n＞a(k)+ε_1(i)。
よって、N_1＝max(N',N'_1)とすれば、i≧N_1のとき、a(k)+ε_1(i)＜a(i)＜aから0＜|a(i)-a|＜b'_1(i)。
このとき、各i≧N_1に対して0＜ε_2(i)＜|a(i)-a|＜b'_1(i)なる実数ε_2(i)が定まり、数列{ε_2(i)}が存在する。
{ε_2(i)}の項ε_2(i)＞0を任意に取り、b'_2(i)＝b'_1(i)-ε_2(i)とおけば、b'_2(i)＞0。
ε'_2＜b'_2(i)なる正の実数ε'_2を任意に取ると、ε'_2に対して或る自然数N'_2が存在して、
n≧N'_2のとき|a_n-a|≦ε'_2＜b'_1(i)-ε_2(i)＝a-a(k)-(ε_1(i)+ε_2(i))、即ち、a_n＞a(k)+ε_1(i)+ε_2(i)。
よって、N_2＝max(N_1,N'_2)とすれば、i≧N_2のとき、a(k)+ε_1(i)+ε_2(i)＜a(i)＜aから0＜|a(i)-a|＜b'_2(i)。