「コンパクト集合 K 上の連続関数列 f1, f2, ... が関数 f に 一様収束する時、f は連続関数である」
この定理は有名ですが、

「コンパクト集合 K 上の連続関数列 f1, f2, ... が連続関数 f に収束する時、それは一様収束となってる」
この命題は真でしょうか？
証明方法または反例があれば教えてください。