必要条件、十分条件について私が勘違いしてるようなのでだれか訂正お願いします。
Aが成り立つための必要条件がB
Aが成り立つために十分条件がC
とする。
つまり
A⇒B、C⇒A

このとき
B∩CはAが成り立つための必要十分条件　　（←ですよね？）
つまりA⇔B∩Cとなる。


これはA⇒B、C⇒AからA⇔B∩Cが導けることを意味する。


と思ったのですが考えてみたところ、
C⇒AからB∩C⇒Aは言えるのですが逆のA⇒B∩Cが言えないと思います。

この論法でどこが間違っているのでしょうか…
あまりにも初歩的ですみませんが宜しくお願いします。