以下の問題の解答をどうやって導くのかさっぱり分かりません。

問題
http://nagamochi.info/src/up148082.jpg
解答
http://nagamochi.info/src/up148083.jpg

問題を解くのに必要な前提となる定理：
http://nagamochi.info/src/up148084.jpg

【自分なりの解答】

|sin(x) - (x - x^3/3!)| = |R_3(x)| ≦ M/4! * |x - 0|^4 = M/24 * |x|^4
sin(x) - (x - x^3/3!)は奇関数だからx > 0の範囲だけ考えればよい。
|sin(Pi/2) - (Pi/2 - (Pi/2)^3/3!)| = 0.075... > 0.0005であるから、
求める区間を[0, b]とすると、b < Pi/2である。

sin(x)の4次導関数はsin(x)である。[0, b]上でsin(x)は単調増加だから
Mとして、M = sin(b)と取れる。

M/24 * |b|^4 = sin(b)/24 * b^4 = 0.0005となるbを計算すると、
b=0.415286...となる。

よって、[-0.415286, 0.415286]の範囲内で、sin(x)はx - (x^3/3!)によって
少数第3位までの精度で近似される。

解答は、これよりも広い(-0.569, 0.569)となっています。

http://nagamochi.info/src/up148084.jpg
↑この定理を使って、どうやってこんな広い範囲を求められるのかが分かりません。