x^2+y^2=10のときx+2yの最大値、最小値とそのときのx,yを求めよ。

x+2y=kとおくと、x=k-2y
これをx^2+y^2=10に代入すると 5y^2-4ky+k^2-10=0・・・①

(i) yは実数より、①の判別式をDとすると、D≧0

D/4 = -k^2+50
したがって、-k^+50≧0 より、 -5√2≦k≦5√2

(ii) k=±5√2のとき、D=0より、①は重解を持つ。ax^2+bx+c=0の重解は、b/-2aなので、

K=5√2のとき
①より、2√2

K=-5√2のとき
①より、-2√5

x=k-2yにkの値をそれぞれ代入して・・・

(i)yは実数というのは、yが2乗だからyは実数になるということでしょうか？

(ii)D=0というのは、k=±5√2を-k^2+50と①のどちらに代入したのでしょうか？
また、なぜk=±5√2を代入したのでしょうか？