>>478
これは
n≦kなる全てのnについてa[n]=nと仮定すると
という意味だが

a[k]=kしか仮定していないと

{a[1]+a[2]+…+a[k-1]+a[k]+a[k+1]}^2 = a[1]^3 +a[2]^3 + …+a[k-1]^3+a[k]^3+a[k+1]^3
という式は
{a[1]+a[2]+…+a[k-1]+k+a[k+1]}^2 = a[1]^3 +a[2]^3 + …+a[k-1]^3+k^3+a[k+1]^3
という式としてしか使えない。

その証明だとn≦kとなる全てのnについてa[n]を
{1+2+…+(k-1)+k+a[k+1]}^2 = 1^3 +2^3+…+(k-1)^3+k^3+a[k+1]^3
と置き換えた式を使いたいのだからn≦kで仮定しないといけない。