ところで曲線の長さは一般に

ｓ＝∫{0→ｔ}((dx/dt)^2＋(dy/dt)^2)^0.5dt

で求まることを覚えておられるだろう、
もちろんこれは０時からｔ時までの間に座標(ｘ,ｙ)が動いた距離に該当する。
半径ｒの円の円周を動く場合は
ｘ＝ｒcosｔ、ｙ＝ｒsinｔ　を座標と考えるだけでよかった。
次に楕円(ａ cosｔ,ｂsinｔ)の長さはどうだろうか。
極座標ではなく変数をｘにとすれば

ｓ＝∫{ｘ→１}(ｘに関する2次式／(ｘに関する4次式)^0.5 dx

といった形になりＰ(Ｘ)が３字か次の多項式のとき、一般に

G＝∫{Ｘ}Ｒ(Ｘ,(Ｐ(Ｘ))^0.5) dx

を楕円積分とよぶことにした。この逆関数を楕円関数とよぶ。
例えば、楕円積分　G＝∫{Ｘ}(１／(４ｘ^３＋ＡＸ＋Ｂ)^0.5) dＸ

の逆関数は　Ｐ＝「ＡとＢから決まるＲ上一次独立な２つの複素数を基底とする２重周期をもつ複素数の逆数の無限和」

となるのでこのＰを微分方程式として解くと　ｙ^２＝４ｘ^３＋ＡＸ＋Ｂ　という楕円曲線となる。
ここで楕円曲線とは　ｙ^２＝Ａｘ^３＋ＢＸ^２＋ＣＸ＋Ｄ　で、重根をもたないものである。
もちろん先ほど言った「ＡとＢから決まるＲ上一次独立な２つの複素数を基底とする２重周期をもつ複素数」からなる平面を
ドーナツの縦横とみなせば、ドーナツと楕円曲線は１対１に対応する。