>>145
(>>176の続き)
|a|＞1に注意する。
(1)、a＞1のとき。最小値Mは
M＝f(α)＝-√(1-cos^2α)/(a+cosα)＝-1/√(a^2-1)。
ここで、f(α)＝sinα/(a+cosα)　はf(x)の最小値。
また、a+cosα＞0　から、-1≦sinα＜0。よって、-π＜α＜0。
①から　cosα＜0　だから　π＜α＜(3/2)π、従って　sinα＝-√(1-(1/a)^2)　…④。
①、②、④から、L_1＝-1/√(a^2-1)。　①、③、④から、L_2＝-1/√(a^2-1)。　故に、L_1＝L_2。
(2)、a＜-1のとき。a＜0に注意して同様に最小値Mを求めると、
M＝f(α)＝-1/√(a^2-1)。
ここで、f(α)＝sinα/(a+cosα)　はf(x)の最小値。
また、a+cosα＜0　から、0＜sinα≦1。よって、0＜α≦π。
①から　cosα＞0　だから、0＜α＜(1/2)π、従って　sinα＝√(1-(1/a)^2)　…④'。
a＜0に注意すると、①、②、④'から、L_1＝-1/√(a^2-1)、
また、①、③、④'から、L_2＝-1/√(a^2-1)。故に、L_1＝L_2。
(1)、(2)から、f(α)＝M、L_1＝L_2　は両立する。
従って、f(x)＝M　なるとき、点P(a、0)を通る直線lは単位円Cに接する。
([1]の証明終)

今、A＝{x∈R|f(x)＝M}　とする。
[2]、点P(a、0)を通る直線lが円Cに接するとき、f(x)は最小値Mを取ることを示す。
一方、lがCに接するとき、関数f(x)が最小値Mを取らなかったとすると、
如何なるα'∈Aを取ろうとも、f(α')＝M、L_1＝L_2　は両立しない。
然るに、任意のα'∈Aはf'(α')＝0を満たすから、
[1]と同様に考えると、f(α')＝M、L_1＝L_2　は両立する。
従って、矛盾が生じる。故に、lがCに接するとき、関数f(x)は最小値Mを取る。

[1]、[2]から、|点P(a、0)を通る直線が円Cに接するときに限り、関数f(x)の値は最小になる。
実数aは任意だったから、aを条件|a|＞1の下で走らせればよい。