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> 986 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2014/02/07(金) 22:41:10.66
> 数列｛a[n]｝(n=1,2,3,…)は
> a[1]=1
> a[n+1]-a[n]/2は整数
> -1/2＜a[n+1]-p≦1/2
> により定まる
>
> (1)p=0のとき、limit(a[n]),n->infinityをもとめよ
> (2)p=1のとき、b[n]=a[2n](n=1,2,3,…)で定められる数列｛b[n]｝について、limit(b[n]),n->infinity>> を求めよ

(1)は推定してa[n]=(1/2)^(n-1)とわかるので帰納法で示し，極限は0となります。

(2)も推定なのですが，一般項が添え字の偶奇で異なります。n≧1のとき
a[2n+1]=a[2n]/2
a[2n+2]=(1/2)a[2n+1] +1
となります。これで帰納法で示すのは大変そうなので一般項を先に求めます。
第1式を第2式に代入して
a[2n+2]=(1/4)a[2n] +1 つまり
b[n+1]=(1/4)b[n] +1 (計算してb[1]=a[2]=3/2)
これを解いてb[n]=(1/6)(1/4)^(n-1) + 4/3 よって
a[2n]=(1/6)(1/4)^(n-1) + 4/3
a[2n+1]=(1/12)(1/4)^(n-1) + 2/3=(1/3)(1/4)^n + 2/3 (n=0のとき1よりn≧0で成立)
となります。
a[2n]> 1，a[2n+1]<1 とわかるので，この2項をもとに帰納法で示します。

b[n]の極限は4/3です。