>>368
微分を使わない証明ね。
π≦x≦(3/2)πにおいて、-1≦sinx≦0、3≧3+cosx≧2であることに注意すると
f(x)＝sinx/(3+cosx)の最小値があるならば、f(x)はπ≦x≦(3/2)πのとき最小値をとる。
そこで、π≦x≦(3/2)πにおけるf(x)＝sinx/(3+cosx)の最小値Mを求める。
　(1)、x＝(3/2)πのとき、f((3/2)π)＝-1/3。
　今、π≦x＜(3/2)πのとき、f(x)＝sinx/(3+cosx)＞-1/3　が成り立つことを示す。
　(2)、(5/4)π≦x＜(3/2)πのとき、3(1+sinx)+cosxを評価すると、
3(1+sinx)+cosx＝2(1+sinx)+(sinx+cosx)
　　　　　　　　＝2(1＋sinx)＋√2(　(1/√2)sinx＋(1/√2)cosx　)
　　　　　　　　＝2(1＋sinx)＋√2sin(x＋(1/4)π)
　　　　　　　　＝2＋√2(√2−1)sinx＋√2(　sinx＋sin(x＋(1/4)π)　)
　　　　　　　　＝2＋(2−√2)sinx＋2(　(1/√2)・sinx＋(1/√2)・cosx　)
　　　　　　　　＝2＋(2−√2)sinx＋2・sin(x＋(1/2)π)
　　　　　　　　＞2−(2−√2)＋2・sin(x＋(1/2)π)＝√2＋2sin(x＋(1/2)π)
　　　　　　　　≧√2＋2・sin(　(5/4)π＋(1/2)π　)
　　　　　　　　＝√2＋2・sin((7/4)π)＝√2＋2・(-1/√2)＝√2−√2＝0、
よって、3(1+sinx)+cosx＞0　即ち、3sinx＞-(3＋cosx)　から、
両辺を3(3＋cosx)＞0で割れば、f(x)＝sinx/(3+cosx)＞-1/3。