f(n)=10^n-1=(9がn個並んだ数)
として
f(n)/f(m)を考える。f(n)はn桁の数なのでf(n)/f(m)はn-m+1桁
以下ガウス記号は省略

f(n)/f(m)は,1(0がm-1個)1(0がm-1個)を繰り返した数になる。桁数はn-m+1桁。
n-m+1=qm+r とするとき，0の個数はq(m-1)+r-1個。

あとはこの最大化を図ればよい。
1000=(q+1)m+r-1 で
結局
1000=Qm+R　としたときの　(Q-1)*(m-1)+Rの最大値を求める問題になる。
Rを消去して
(Q-1)(m-1)+1000-Qm
=1001-Q-m
つまりQ+mが最小になるようなものを探せばよい。
23*43=66
24*41=65
25*40=65
26*38=64
27*37=64
28*35=63
29*34=63
30*33=63
31*32=63
なので結局938が最大値