二次不等式の解法についてです、お願いします。

問題が
xについての二次方程式3x^2-2(a＋1)x＋a^2=0が、0<x<1の範囲に異なる実数解を持つとき、定数aのとりうる値の範囲を求めよ
で解法が
1.判別式が０より大きい
2.0<軸<1
3.f(0)>0
4.f(1)>0
を利用しているのですが、1、3、4だけでは間違いになりますか？
1、3、4しか自身で思いつかず解答を見たのですが軸の必要性がよくわかりません。
下に凸、範囲の両端が＋、判別式が０以上、では条件を満たしていないのでしょうか。
よろしくお願いします。