>>567
高校数学なら、以下くらいで許してもらえないか。

g(x)=f(x)+f'(x)とおき、e^x*g(x)=(e^x*f(x))'を aからbまで積分すれば
∫[a,b] e^x g(x) dx=e^bf(b)-e^af(a)
となる。区間[a,b]でのg(x)の最大値をM(a,b), 最小値をm(a,b)とすれば挟み撃ちで
m(a,b)(e^b-e^a)≦e^bf(b)-e^af(a)≦M(a,b)(e^b-e^a)
となる。e^b で割ると
m(a,b)(1-e^(a-b))≦f(b)-e^(a-b)f(a)≦M(a,b)(1-e^(a-b))
となる。ここでb→∞とすれば、g(x)→α(x→α)であるから、g(x)のx≧a での最大値M(a)、最小値m(a)は存在して
m(a)≦lim[b→∞]f(b)≦M(a)
となる。ここで、さらにa→∞とすれば、m(a),M(a)→αであるので、lim[x→∞]f(x)=αである。