＞>>119でxを消去した場合は
＞y^2+y-k-1=0の実数解y=bが得られたとしても
＞b=x^2+kのxが実数になるとは限らないから、y=bは必要条件止まりになってしまう。
＞実数になるかどうかさらに検証する必要がある。

「x^2+y^2=1…Aかつy=x^2+k…C」と同値なのはy^2+y-k-1=0でなくて
「y^2+y-k-1=0かつ[y=x^2+k…C]」
だから二次方程式で出した実数解が条件Cを満たすか確認しなければならない。

この場合は実数yが存在したからといってCを満たす実数xが存在するとは限らない。yの定義域がーとか言って何と無く理解しているのは「条件Cが実数xを満たす条件」の事。つまり条件Cの言い換えの事。
定義域だから意識しないといけないという認識は間違い。