集合論について
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0001１３２人目の素数さん
2013/11/18(月) 04:05:17.080002１３２人目の素数さん
2013/11/18(月) 06:54:37.67情報系で研究されている
どうしてもというなら
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1348851752
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320576310
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325247440
などでどうぞ
0003１３２人目の素数さん
2013/11/18(月) 11:13:33.54関連すれ
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1348851752/
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325247440/
あれそう、わくわく
0004１３２人目の素数さん
2013/11/21(木) 09:33:47.520005１３２人目の素数さん
2013/11/21(木) 09:59:49.37100年くらい前に終わったでしょ。
今では、教科書を読めば完了。
0006狸 ◆2VB8wsVUoo
2013/11/21(木) 10:05:48.83昨年くらいの頃に終わったでしょ。
今では、菌愚を無視して終了。
ケケケ狸
0007１３２人目の素数さん
2013/11/24(日) 12:22:00.840008狸 ◆2VB8wsVUoo
2013/11/24(日) 12:42:13.310009狸 ◆2VB8wsVUoo
2013/11/24(日) 15:59:06.110010狸 ◆2VB8wsVUoo
2013/11/24(日) 17:03:13.780011１３２人目の素数さん
2013/11/24(日) 18:58:23.080012１３２人目の素数さん
2013/11/24(日) 19:03:48.900013１３２人目の素数さん
2013/11/25(月) 21:31:13.84だけが関心を持つからね。
0014狸 ◆2VB8wsVUoo
2013/11/26(火) 06:55:16.75■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□
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0015Let's Fight！
2013/11/26(火) 08:38:15.65これが基礎論の現状
そして自称解析学では重要な役割を果たすというが
どうでもいい命題ばかりでしか貢献できていない
本質的にゴミなのである
0016１３２人目の素数さん
2013/11/26(火) 08:46:24.54数学者にとってできれば触れたくない分野だからなw
0017狸 ◆2VB8wsVUoo
2013/11/26(火) 09:35:32.01狸
0018１３２人目の素数さん
2013/11/26(火) 12:25:13.73これ、基礎論だけの現状ではないだろｗ
0019狸 ◆2VB8wsVUoo
2013/11/26(火) 12:36:43.15れた出力を、『重要な結果だ』と強弁するとか。
狸
0020１３２人目の素数さん
2013/11/26(火) 21:59:55.200021１３２人目の素数さん
2013/11/26(火) 23:46:49.390022１３２人目の素数さん
2013/11/27(水) 03:00:36.47誰か詳しい人
0023Let's Fight！
2013/11/27(水) 06:09:01.44なにしろ無限公理を追加し放題だからｗ
そして公理をさまざまにいじって
強制法やランダムの定義を少しづつ変えてってのはすでに行われている！
0024狸 ◆2VB8wsVUoo
2013/11/27(水) 14:25:21.16■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□
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0025１３２人目の素数さん
2013/11/28(木) 01:25:05.450026１３２人目の素数さん
2013/11/28(木) 01:38:22.14結構わかりやすい。
書評がボロクソに書かれてるけどそんに悪いかな？
0027１３２人目の素数さん
2013/11/28(木) 01:54:04.39でたらめ書いて馬鹿にわかった気にさせるのは全然別の事だからな
0028１３２人目の素数さん
2013/11/28(木) 06:47:09.100029狸 ◆2VB8wsVUoo
2013/11/28(木) 07:04:48.59■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□
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0030狸 ◆2VB8wsVUoo
2013/11/28(木) 09:31:17.180031１３２人目の素数さん
2013/11/28(木) 10:35:29.26哲学の方から集合論に興味持ったために長いこと勘違いしてました
0032１３２人目の素数さん
2013/11/28(木) 19:45:11.39元気ですか？
0033狸 ◆2VB8wsVUoo
2013/11/28(木) 20:17:11.81--tanuki--
0034１３２人目の素数さん
2013/11/28(木) 20:20:00.33そもそも不完全性定理って数学の定理じゃないからｗ
>>31
数学者の使う実数とは違うよ
やるだけ無駄 役に立たない
0035１３２人目の素数さん
2013/11/28(木) 20:27:25.03だからなんやねん
0037１３２人目の素数さん
2013/11/28(木) 20:43:47.160038狸 ◆2VB8wsVUoo
2013/11/28(木) 20:55:24.63ケケケ狸
0039１３２人目の素数さん
2013/11/28(木) 22:10:37.34成り立つかどうか胡散臭い定理が結構ある
全体的にあまりに空想的な命題が多すぎて設定次第でどうにでもできてしまうからね
そこが人工的な感じがして今一本気でやればい部分がある
0040１３２人目の素数さん
2013/11/28(木) 23:25:10.92それはよかった、これからも元気に生きてください
0042１３２人目の素数さん
2013/11/29(金) 20:56:22.16> 集合論って、情報系>哲学系>数学系の順に人気があるイメージ
こういう事を書く人って集合論も情報系も全然知らないって自白しているも同然ですね。
情報系にとって興味があるのは基本的に計算可能な対象ですから集合でも高々可算無限濃度まで。
連続体濃度以上の一般の集合は情報系にとって関心はありません。
従って、連続体の濃度がどうだとか巨大基数とかが関心の中心になっている現代の集合論は
情報系の関心の範囲外ですし情報系での応用もありません。
同様に、超準解析を始めとして一般の無限集合を用いるモデル論も情報系にとってはほぼ無縁です。
情報系で関心の高い「モデル論」と言えば有限モデル論(finite model theory)です。
集合論と同様に基礎論系統の分野でも証明論、特にGentzen流の還元的証明論なんかは確かに情報系で
関心のある人も多い（といっても、そもそも理論計算機科学屋そのものが情報系では極めて少数派）ですが。
情報系つまり理論計算機科学屋にとって通常の公理的集合論や一般のモデル論なんて関心ありませんよ。
せいぜい情報系のポストにもぐりこんでいる基礎論屋さんだけです、そんな巨大なサイズの枠組みに興味を持つのは。
0043１３２人目の素数さん
2013/11/29(金) 22:29:25.02ZFよりはるかに弱い集合論もあるし、それなりに研究もされてるよ
たとえば新井敏康「数学基礎論」にはKripke-Platek集合論の
証明論的分析が載ってる。
同じ本の集合論の章に載ってる「BST」も弱い集合論の一つ。
0044１３２人目の素数さん
2013/11/30(土) 03:05:01.88実際俺は"集合論も情報系も全然知"らんわ
けど、集合論を勉強しようとした時に内容が最もよく整理されてて
役に立ったのは"情報"分野の本棚ですね
次に哲学。"この公理を採用する正当性は何か？"みたいな
テーマが議論されてて深さという点ではダントツだった
数学の本棚が一番しょぼかった
素人目からは。
0045１３２人目の素数さん
2013/11/30(土) 03:14:41.90内容は豊かでした
なんていうか、公理を定めてどんどん演繹してくんだけど、
公理を疑ったりみたいな話題にはノータッチだった
俺はそこに一番興味があったんだけど
0046１３２人目の素数さん
2013/11/30(土) 06:55:35.64ここに無料テキストが山ほどあるから勉強しなすこと
http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&;version=1.0&verb=Display&page=past&handle=euclid.pl
0047１３２人目の素数さん
2013/11/30(土) 08:11:14.000048１３２人目の素数さん
2013/11/30(土) 08:49:07.78何を言いたいのか、
整理してみな。
0049１３２人目の素数さん
2013/11/30(土) 09:16:31.95数学は公理を定めてどんどん演繹してくことにより、なにが導かれるかを明確に示してくれる。
それが目的にあわないなら別の公理を用いればよい。
それがいい加減な思考ではなくて論理的に演繹により示されるのに、なにが不満なんだか。
選択公理のない集合論、無限公理のない集合論、基礎の公理のない集合論(や、これらの否定を公理に持つ集合論)などなど、研究されていて面白い結果も導かれている。
0050１３２人目の素数さん
2013/11/30(土) 11:53:19.60いきなりそのシリーズは無理や
案外キュネンの和訳に載ってる数学の哲学的な部分が良いかも
0051１３２人目の素数さん
2013/11/30(土) 13:10:05.34後期も単位落としそうでつらい
0052１３２人目の素数さん
2013/11/30(土) 17:20:38.34死んだほうがいいよ
0053１３２人目の素数さん
2013/11/30(土) 19:16:04.59助かります！
便利な情報はもっと目立って存在してくれればいいのにと思う
0054１３２人目の素数さん
2013/11/30(土) 19:32:58.91数学の体系を「この公理を採用したらこれが演繹できる」っていうペアの平等な寄せ集め
と見るならばそうかもしれないけれども、
現実の"数"の性質をどれだけ忠実に表現しているかっていう視点で
公理系を見ることには意味があると思うんです
0055１３２人目の素数さん
2013/11/30(土) 19:35:46.55もちろん、現実の"数"の性質について知るためには、現実の数学について知らなければならないし
0056１３２人目の素数さん
2013/11/30(土) 20:03:26.49基礎論は無料でテキストが公開されている場合が多いから
洋書なんかは購入前に調べたほうがいいよ
0057１３２人目の素数さん
2013/11/30(土) 20:05:23.45こういうサイトって他にもあるんですか？
0058１３２人目の素数さん
2013/11/30(土) 20:32:09.82集合論の公理詳細
http://us.metamath.org/index.html
論理体系のリスト
http://home.utah.edu/~nahaj/logic/structures/systems/index.html
計算量クラスのリストとその図
https://www.math.ucdavis.edu/~greg/zoology/relations.html
https://www.math.ucdavis.edu/~greg/zoology/diagram.xml
逆数学とかの小型の数学体系とか
http://rmzoo.uconn.edu/diagrams.html
0059１３２人目の素数さん
2013/11/30(土) 21:17:47.76ありがとうございますm(_ _)m
0060１３２人目の素数さん
2013/12/05(木) 00:19:36.84http://stanford.library.usyd.edu.au/entries/settheory-alternative/
0061１３２人目の素数さん
2013/12/08(日) 00:10:18.080062１３２人目の素数さん
2013/12/16(月) 21:15:09.09どういう態度で臨めばいいんだろう…？
0063１３２人目の素数さん
2013/12/27(金) 05:54:12.770064１３２人目の素数さん
2013/12/28(土) 11:03:16.00文字通り動物図鑑とか昆虫図鑑を見るような態度ではないですか？
動物や昆虫と違うのは、いくらでも人工的に新種を作り出せることですが。
0065裁判負一声会さくら接骨院親分歌代英二
2013/12/28(土) 12:52:09.170066１３２人目の素数さん
2014/01/05(日) 06:40:16.83空集合って「任意の集合の部分集合」なんだろ？
それで居て空集合は「内部に何も含まない」だろ？
?∋?なのか？ ???なの？
どっちなのか分からない
0067１３２人目の素数さん
2014/01/05(日) 06:46:52.300068１３２人目の素数さん
2014/01/05(日) 06:53:32.250069１３２人目の素数さん
2014/01/05(日) 06:57:37.640070１３２人目の素数さん
2014/01/05(日) 15:20:39.47空集合は何も中身が入っていないビニール袋だ。
x∈A はAという集合にxが含まれている。
A⊂B は集合Bが集合Aを覆う。（含む含まないという言葉を使わない方が理解しやすい）
BがAを覆うというのは、Bの袋から要素を取り除くという操作をしたかもしくは何も操作しないときに
Aにできるということ。
空集合は空集合を覆う。（φ⊂φ）
これは、何もないビニール袋に何も操作しなければなにもないビニール袋のままであるということ。
0071１３２人目の素数さん
2014/01/05(日) 16:23:23.73ここまで丁寧に答えていただけるとは
脳みそのムズムズが取れてスッキリしました
0072１３２人目の素数さん
2014/01/30(木) 10:57:19.45集合論・数理論理学ガチでやりたいんですけど,不完全性定理終えた今からどの分野やったらいいんですかね?
キューネンの独立性証明の集合論にも興味ありますし,様相論理にも興味あるし,・・・
山本新の｢数学基礎論｣は最後までやったほうがいいのかな
0073１３２人目の素数さん
2014/01/30(木) 19:05:06.450074１３２人目の素数さん
2014/01/30(木) 21:58:43.730075１３２人目の素数さん
2014/01/30(木) 23:25:46.85それを人に聞くのはナンセンス
0076１３２人目の素数さん
2014/01/31(金) 01:50:36.01今一番興味あるのは,｢巨大基数の集合論｣ですけど,結構なハイレベルな気がします。
前提知識はどの位いるのかな？
0077１３２人目の素数さん
2014/01/31(金) 03:18:57.970078１３２人目の素数さん
2014/01/31(金) 16:20:35.11「対角線論法は間違ってる！
なぜなら実数は無限小数ではないからだ
無限小数は全ての桁が確定しないから数ではない
自然数と実数は１対１対応”し続けられる”」
と吠えてるヤツがいるんだが
実数の完備性（コーシー列の収束）は否定してないらしいが
完備性から非可算性も導かれることが全然分かってない
どうにかならんかね？
0079１３２人目の素数さん
2014/01/31(金) 16:26:50.410080１３２人目の素数さん
2014/01/31(金) 19:31:49.39二回の反復強制法と多少のモデル理論が分かってれば良い
KunenじゃなくてJechで勉強した、というパターン以外は
キューネンより先にその本読むのはほぼ無理だと思うよ
0081１３２人目の素数さん
2014/02/01(土) 00:01:01.590082１３２人目の素数さん
2014/02/01(土) 00:15:08.43クロネッカー？
0083１３２人目の素数さん
2014/02/01(土) 00:45:47.750084１３２人目の素数さん
2014/02/01(土) 01:15:55.15あざっす
それにしても,公理的集合論,数理論理学を自主勉強でやってきた物だから,
自分がどの程度出来ているor出来ていないのかがわからない
0085１３２人目の素数さん
2014/02/01(土) 18:03:01.22でいいんじゃない？
0086１３２人目の素数さん
2014/02/04(火) 16:49:16.95非主流だけど、何人も指摘しているがそういう考えもあるからどうしようもないｗ
0087１３２人目の素数さん
2014/02/04(火) 17:16:47.270088１３２人目の素数さん
2014/02/04(火) 20:45:56.800089１３２人目の素数さん
2014/02/04(火) 21:50:50.400090１３２人目の素数さん
2014/02/05(水) 14:33:13.850091１３２人目の素数さん
2014/02/05(水) 22:06:12.480092１３２人目の素数さん
2014/02/06(木) 00:30:44.88ちょっと過激すぎるよねえ
まあ、体をなさずモノイドにしかならない自然数は軽視されがちだから
その点はありがたいけど
0093１３２人目の素数さん
2014/02/08(土) 19:06:33.73公理的集合論辺りでは,
どの程度出来て学部4年・修士・博士レベルっていうか知りたいんですけど・・・
0094１３２人目の素数さん
2014/02/08(土) 19:13:02.30そらで言えるようになって学部4年or修士1年じゃないのかなぁって
個人的には思ってるんですが。
それと,公理的集合論を深くやる人は,数理論理学は
どの程度抑えておいたほうがいいのかも教えて欲しいです
自然数論の無矛盾性の証明は是非抑えておきたいと思いつつも
全然手を付けていないっていう事もあります・・
0095１３２人目の素数さん
2014/02/08(土) 19:14:54.740096１３２人目の素数さん
2014/02/08(土) 20:09:17.48このスレ逐一見てる人いるんですな
0097１３２人目の素数さん
2014/02/08(土) 21:06:53.43証明は覚えるもんじゃないけどなｗ
あと「抑える」じゃなく「押さえる」な
0098１３２人目の素数さん
2014/02/10(月) 02:00:20.420099１３２人目の素数さん
2014/02/15(土) 00:23:06.792月8日まではあったのに
0100１３２人目の素数さん
2014/02/16(日) 16:52:56.34BGの公理系を学んだ後に圏論やったら見方がどういう風に変わりますかね？
BGの集合論やBGとZFCの関係について学べる本・論文あれば教えてください。
0101１３２人目の素数さん
2014/02/21(金) 01:23:04.67誰か〜
コメントしてよぅ〜
0102１３２人目の素数さん
2014/02/22(土) 09:10:34.22変数は全て束縛、クラス束縛変数は含まない式Aならクラスとして存在。
系として、任意のZFCの式についてそれを充たすクラスの存在がBGで言える。
公理に関する簡単な議論でZFCで証明できるならBGで証明できる。
でも、ZFCに関するかぎり強さは同等。
BGが書いてある本ならほとんど書いているはず。
倉田令二朗、篠田寿一公理的集合論の初めの方など
圏論の見方がどう変わるかはわからない。
クラスに意識はすると思うが。
0103１３２人目の素数さん
2014/02/22(土) 23:08:24.51一つを学べるだけだよ
0104１３２人目の素数さん
2014/02/22(土) 23:48:42.15あざっす 近いうちにBG集合論勉強します
0105１３２人目の素数さん
2014/02/23(日) 14:48:40.14集合全体の集まりをＳとすると
クラスというのは２＾Ｓの要素
そのうちもとのＳに対応するものを
除いたのが集合以外の固有クラス
クラスの要素は集合だから
クラスを要素とする集まりは
クラスですらない
0106１３２人目の素数さん
2014/02/25(火) 23:27:59.31日本にも世界にも巨大地震が起きませんように。
皆さんも一緒に祈って下さい。
太陽フレアのＸが発生したそうです。
太陽黒点数の100越えが24日間継続しているようです。
0107１３２人目の素数さん
2014/02/28(金) 02:35:59.16３つの公理スキーマとＭＰだけを使って
命題論理式の証明を自動で導く
アルゴリズムの名前を教えてください
0108１３２人目の素数さん
2014/02/28(金) 14:34:21.97っていうか その質問スレ違いでは？
0109１３２人目の素数さん
2014/02/28(金) 14:36:25.680110１３２人目の素数さん
2014/02/28(金) 15:41:52.960111107
2014/02/28(金) 16:34:36.53論理学スレはどれも荒れていて
こちらのスレの雰囲気が良かったので
そういうようなアルゴリズムがあったら教えて
あるいは、関連する研究があったら教えて
という意図での質問でした
誰かしら研究はされてるはずと思っているのですがなかなか見つからない
ゲーデル数を使ったアルゴリズムは読んでいる教科書で軽くスケッチされているけど
細かい部分がよくわからないのでレシピがあったら読みたい
たぶん直接的に組むと指数関数的爆発だろうから
素人目には枝刈りのやり方とか研究のしがいがありそうな気が
0112１３２人目の素数さん
2014/03/01(土) 01:39:26.64"順に"っていうならゲーデル数で考えたくなりますけど,ゲーデル数は理屈上の概念であって
実用上あんな巨大な数はまず計算が間に合わないでしょうから っていうのが私の印象
0113１３２人目の素数さん
2014/03/01(土) 01:51:08.20{x'、x''、x'''、x''''、……} で代用してコード化すると有限文字（N文字）しか要らないから、
それぞれの文字を0〜N-1と対応させてそのまま読むと
m文字の論理式はN進法でm桁のゲーデル数を対応させられる。
つまり N^m くらいしか要らない。
スマリヤンの本にあるゲーデル数化の方法だけど
m文字以下の論理式はある定数c、kに対してc^(m/k)程度はあるから、
このコード化は割と良い線言ってると思うよ。
0114１３２人目の素数さん
2014/03/01(土) 02:35:52.360115１３２人目の素数さん
2014/03/05(水) 11:46:52.07LKとヒルベルトスタイルの同等性の証明をじっと見つめれば
0116107
2014/03/05(水) 20:56:52.52同等性のほうの参考文献みつけられません…
同等性はセマンティクスを経由せずに証明できますか？
Deduction Theorem や完全性定理を仮定せずに証明できそうですか？
３つの公理スキーマについては、どの３種類を選ぶかは固定しておりませんが
その手法はそれでも適用できそうですか？
0117107
2014/03/07(金) 22:24:34.33３つの公理スキーマ
（Ａ１） Ｂ⇒（Ｃ⇒Ｂ）
（Ａ２） （Ｂ⇒（Ｃ⇒Ｄ））⇒（（Ｂ⇒Ｃ）⇒（Ｂ⇒Ｄ））
（Ａ３） （¬Ｃ⇒¬Ｂ）⇒（（¬Ｃ⇒Ｂ）⇒Ｃ）
とＭＰからなる公理系から出発すると、Deduction定理などを経由して完全系定理を示すことができて
この公理系はトートロジーの集合と一致することが示せます
一方、ルカシーヴィッツの公理系
（Ｌ１） （¬Ｂ⇒Ｂ）⇒Ｂ
（Ｌ２） Ｂ⇒（¬Ｂ⇒Ｃ）
（Ｌ３） （Ｂ⇒Ｃ）⇒（（Ｃ⇒Ｄ）⇒（Ｂ⇒Ｄ））
も同等の性質を持つ公理系らしいので、完全性定理の証明ができるはずですが
導くのにヒラメキが必要そうで、自分では証明を構成できていません
自分の第一の動機は、ルカシーヴィッツの公理系を出発点にした
完全性定理の証明を見つけたいので、コンピュータを援用したいという動機です
そして、一般の公理系は、適当に３つの公理スキーマを指定して考えることができるので、
適当に３つの公理スキーマが与えられたときに、それが完全性定理を満足するかを
ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要だろう、というのが第２の動機です
よろしくお願いします
0118１３２人目の素数さん
2014/03/07(金) 22:56:10.71S1の公理がS2で証明できることと、S1の推論規則がS2の推論を（何回か）使ってできること
S1とS2を入れ替えて上と同じこと
を確かめればよい
0119107
2014/03/07(金) 23:13:42.15それを使って完全性定理を示せ、
逆に完全性定理を示せるなら
(A1)〜(A3) が定理であることが示せるので、
>118 の条件と >117 の条件は同じ意味になると思います
その >118 での確かめるアルゴリズムがあったらいいのですが…
0120１３２人目の素数さん
2014/03/08(土) 01:52:42.79公理的集合論･数理論理学･証明論･モデル理論と 代数･幾何･解析を扱う方の数学をまたぐ分野ってありますか？
そういう分野,研究にかなり興味あるんですけど。
数学基礎論の理論を代数･幾何･解析の土俵で扱うことが出来るような研究にも興味あります(逆も勿論興味あります)
何で現在,こんなにも｢情報数理と純粋数学｣って住み分けが進んでいるんだろうなっていう気分です。
0121１３２人目の素数さん
2014/03/08(土) 02:07:45.990122１３２人目の素数さん
2014/03/08(土) 02:15:11.17特殊な微積分を構築するんですか・・
0123１３２人目の素数さん
2014/03/08(土) 07:21:46.89http://www.math.wisc.edu/~keisler/
0124１３２人目の素数さん
2014/03/08(土) 11:38:23.17MSRI Publications -- Volume 39
Model Theory, Algebra, and Geometry
Edited by Deirdre Haskell, Anand Pillay, and Charles Steinhorn
0125１３２人目の素数さん
2014/03/08(土) 12:40:57.03詳しい方々どうもです
0126１３２人目の素数さん
2014/03/08(土) 12:48:38.780127１３２人目の素数さん
2014/03/08(土) 16:26:39.54>>116までを読む限り、公理系が完全なのは前提みたいな書き方だから
2^n通りを虱潰しに調べりゃ良いじゃないか、ということになる。
なんで命題論理の公理図式は一般に3つだと思うようになったのか知らないけど
その体系の公理図式が3つであるのは偶然で、大した意味は無いよ
メレディスの図式みたいに一個からトートロジーを全て導き出せるようなものもある
ウカシェヴィチの公理系から上の三つを頑張って示すか、
ウカシェヴィチの公理系が完全であることの証明が載ってる文献を探すのが一番近道だと思う。
＞ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要
そんなアルゴリズムあるのかなあ。そもそも無い可能性もある気がするけど。
0128１３２人目の素数さん
2014/03/08(土) 17:49:04.92＞ルカシーヴィッツの公理系も同等の性質を持つ公理系らしい
違うと思う
117の公理系では重複する前提を１つにまとめられないと思う
0129１３２人目の素数さん
2014/03/08(土) 17:55:32.28例えば(L1)〜(L3)で
（Ａ⇒（Ａ⇒Ｂ））⇒（Ａ⇒Ｂ）
を証明できる？
0130１３２人目の素数さん
2014/03/08(土) 20:22:17.65129 の命題式は恒真なので、(L1)〜(L3) から証明できると思ってました
自分のネタ元は
Elliott Mendelson 『Introduction to Mathematical Logic, 5th ed.』
の
Exercise 1.58
で
"Prove that a wf B of L is provable in L if and only if B is a tautology."
とあります
0131１３２人目の素数さん
2014/03/08(土) 20:35:07.14＞ >>107と>>117でだいぶ言ってることが違ってる気がするけど。
＞ >>116までを読む限り、公理系が完全なのは前提みたいな書き方だから
＞ 2^n通りを虱潰しに調べりゃ良いじゃないか、ということになる。
とすると、>115 のアルゴリズムはまだ自分では把握できていないのですが、
上記のような考え方でのアルゴリズムになるんですかね？
＞ ウカシェヴィチの公理系から上の三つを頑張って示すか、
＞ ウカシェヴィチの公理系が完全であることの証明が載ってる文献を探すのが一番近道だと思う。
確かに目の前のエクササイズの解答を得るにはそれが良さそうですが、それでも
別の ｎ個の公理図式を与えた場合はどうか、また別の…、というふうに
いくらでも問うことができて、そのたびに解くためにヒラメキが必要とされるのであれば
一般的に解けたといいにくいなあと思うので
＞＞ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要
＞ そんなアルゴリズムあるのかなあ。そもそも無い可能性もある気がするけど。
まだ誰も研究テーマにしたことないでしょうか？
0132１３２人目の素数さん
2014/03/09(日) 00:00:03.36じゃあ,私も山本新先生の数学基礎論についても埋めれなかった行間が沢山あるんですが・・・
0133１３２人目の素数さん
2014/03/09(日) 01:06:27.210134１３２人目の素数さん
2014/03/09(日) 03:20:02.50中身は結構いいんですけどね・・・
0135１３２人目の素数さん
2014/03/09(日) 19:58:11.720136１３２人目の素数さん
2014/04/01(火) 02:12:29.10∃y(φ∈y∧∀x(x∈y→{x}∈y)) は証明できますか？
0137１３２人目の素数さん
2014/04/01(火) 02:39:15.45ZC（ZFC - 置換公理 + 分出公理）では不可能
0138１３２人目の素数さん
2014/04/01(火) 03:18:46.38ありがとうございます
0139１３２人目の素数さん
2014/04/01(火) 15:00:34.74不可能である事を主張するのって大分困難だと思ってるんですが,
それをささっとレスして凄いですね。
0140１３２人目の素数さん
2014/04/01(火) 15:04:00.48ささっとレスすることの何が凄いのだろうか
0141１３２人目の素数さん
2014/04/01(火) 21:12:47.16整列可能性と可算性の関係はどういう関係なのでしょうか？同じに見えるのですが。
また、選択公理の独立性は話題になるのに、置換公理や無限公理など他の公理の
独立性が話題になることが余りないのは何故なのでしょうか？
0142１３２人目の素数さん
2014/04/01(火) 23:10:36.51片方が成り立ってもう片方が成り立たないモデルを作れば良い。
>>141
可算⇒整列可能は成り立つけど
整列可能⇒可算は成り立たない。
実際、ちょっと厳密じゃない言い方になるけど
可算な整列順序の順序型の全体は整列可能だけど
ω＝aleph_0の次の基数になる。
置換公理や無限公理の独立性は選択公理より遥かに簡単に示せます。
これも丁寧に書いた教科書なら大抵載ってます。
0143１３２人目の素数さん
2014/04/02(水) 02:06:44.020144１３２人目の素数さん
2014/04/02(水) 20:15:28.26ありがとうございます。
可算でないのに整列可能ということがあり得るということですが、どうもよく
わかりません。非可算な集合を整列するとき、最初の可算部分を整列させた後、
残りの非可算の部分をどうやって整列させるのでしょうか？
ところで、無矛盾性や独立性を示すには、モデルの存在によって示すしか他に方法は
方法はないのでしょうか？モデルを持ち出さずに直接？示すことはできないのでしょうか？
また、モデルが矛盾するということはないのでしょうか？
0145１３２人目の素数さん
2014/04/02(水) 21:44:12.03松坂の｢集合･位相入門｣の整列可能定理見ればいいと思う
0146１３２人目の素数さん
2014/04/02(水) 22:58:02.79142で言っているのは非可算な整列集合が存在するということだけで、
後者を示すだけなら選択公理みたいなものは使わない。
無矛盾性について言えば、
証明を形式的に分析して0=1に至る証明が存在しないことを
何らかの方法で示すという証明論的方法もあるにはある。
正直あまり実用的な感じではないけど。
あとは教科書読んで勉強して下さい
0147１３２人目の素数さん
2014/04/03(木) 15:40:43.86>後者を示すだけなら選択公理みたいなものは使わない。
実数の集合がその例ですね。非可算かつ自然な順序関係によって整列される
0148１３２人目の素数さん
2014/04/03(木) 18:28:01.78> 実数の集合がその例ですね。非可算かつ自然な順序関係によって整列される
？
0149１３２人目の素数さん
2014/04/03(木) 18:48:18.890150１３２人目の素数さん
2014/04/03(木) 21:29:54.800151１３２人目の素数さん
2014/04/04(金) 20:31:23.75そうか、０以上の実数の集合、としても駄目ですね。
じゃあ、非可算な整列集合ってどういうものだろう？
整列って変な性質ですね
0152１３２人目の素数さん
2014/04/04(金) 20:47:11.410153１３２人目の素数さん
2014/04/04(金) 22:53:16.63選択公理も全然変だと思わないですけどね。
整列の方は、可算でもなく単なる全順序でもないという、なんだか変な
感じがするけど。
0154１３２人目の素数さん
2014/04/04(金) 23:39:15.030155１３２人目の素数さん
2014/04/04(金) 23:49:09.460156１３２人目の素数さん
2014/04/05(土) 02:25:50.340157１３２人目の素数さん
2014/04/05(土) 03:07:01.43選択公理の帰結や、選択公理と同値な命題を色々眺めてれば何か悟るんじゃね？
0158１３２人目の素数さん
2014/04/05(土) 04:44:42.62選択公理から出る結果が変だと思うから選択公理も疑われるだけ
有名なのはバナッハ・タルスキーの定理だな
0159１３２人目の素数さん
2014/04/05(土) 08:26:10.400160１３２人目の素数さん
2014/04/05(土) 12:48:31.25たしかに変なことが起きるのは非可算な整列集合のときだけかもしれん
可算集合の場合はいくら選択公理を適用してもおかしなことは起きんのじゃないかな
0161１３２人目の素数さん
2014/04/05(土) 13:38:50.39たとえばRを、差が有理数な時同値という同値関係〜で類別した時に、従属選択ぐらいではR/〜の濃度がRの濃度より大きくなったりしてしまう。
0162１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 00:35:26.00それはバナッハ・タルスキーの定理よりもよっぽど気持ち悪いですね
0163１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 00:40:03.520164１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 00:41:49.700165１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 00:57:32.190166１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 02:09:43.260167１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 02:11:01.990168１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 10:36:34.63一つづつ選んだ選択集合は作れないだろうという主旨のことを言っているが、
なんでつくれないんだっけ？
0169１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 11:08:33.83脚が有限組なら、もちろん具体的に指示して前から順に靴下を選べばよい。終われば一気に決めたのと実質同じだから。しかし、無限組ある場合、このような具体的な指示ではいつまでも対応づけは終わらない。一気に決めた状態に辿り着くことはない。
無限にあっても前の組までの対応から次の組の対応が決まるならそれは具体的な指示だから値は決められるかもしれない。可算選択や従属選択が比較的嫌われないのはそのあたりにあるわけで、その意味で靴下のたとえはあまり適切ではないかも。
また、靴なら右を選ぶという具体的な指示ですべて一気に選べるだろう。
しかし、たとえば無限組の脚がぐちゃぐちゃな配置で前から並んでいない虫で、ペアとなる脚の組から靴下をひとつずつ選ぶ時、適当な指示を与える有効な手段は無いかもしれない。となると、一気に決まると断言することはできない。
選択公理はそれができると断言することにあたる。
0170１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 11:28:18.61「そういう写像が決まる」ことを言ってるのじゃないから、ラッセルの
例は、選択公理に対する反例（というのかな）にはならないのでは？
0171１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 11:52:46.06ヒルベルトの「神学」や、カントールの実無限に対する批判を見れば感じると思うけど、20世紀に抽象数学が発達する以前は具体的手段がないのに選択ができるというのは数学者のスタンダードから外れていた。
まだ選択公理批判が始まった頃はその感覚は相当残っていたんじゃないかと。
0172１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 11:54:36.43左右の区別がつかないので、一斉に左を選ぶというような方法で代表元を指定することはできない
0173１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 11:55:55.920174１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 11:58:12.670175１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 12:00:02.490176１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 12:09:37.120177１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 12:12:04.46完成された現代数学しか見てなきゃこんなもんだと思うよ。
0178１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 12:40:09.79「虚数集合」とか良く分からない用語を勝手に自分流で使ったりするのはアレだね
しかも集合論の話っぽくないし
0179１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 12:44:05.45という趣旨の質問をしたと解釈
0180１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 14:40:40.82自然な整列ができない可算集合があるということ？
0181１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 15:41:58.790182１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 18:18:59.77具体的な全単射があれば具体的な整列順序が得られるというだけの話じゃないの
0183１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 18:35:34.96>全単射があれば整列順序は得られるし
それができるというのがまさしく可算選択公理なわけで。つい当たり前と思ってしまうが、自明からはほど遠い話。
0184１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 18:59:06.26x, y∈X に対してx≦y⇔f(x)≦f(y)と定義すると(X,≦)は順序集合となり、fは順序同型写像。
ゆえに(X,≦)は整列集合である。
これだとどこか間違ってるの？
0185１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 19:18:19.830186１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 19:29:17.01そうなのか？
Xが可算集合であるとは∃f(fはXからNへの全単射)のことであり、
x, y∈X に対してx≦y⇔f(x)≦f(y)と定義すると(X,≦)は順序集合となり、fは順序同型写像。
ゆえに(X,≦)は整列集合である。
したがってXは整列可能な集合である(変数fは消えた)。
上の論証でも、Nが整列集合であることの証明でも、選択公理を使っていない。
0187１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 19:40:29.060188１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 19:48:48.12不定にchoiceされたfは最終的に消えるので「可算集合は整列可能である」は証明できたことになると思う。
0189１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 20:06:02.050190１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 20:15:35.89fが消えるのと同時に X の順序を決める ≦ も消えてんだよ
0191１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 20:17:33.680192１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 20:24:37.47しようがない」のね？
0193１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 20:30:21.360194１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 20:33:23.45最終的な結論は「Xは整列可能である」、つまり∃R[ (X,R)は整列集合) ]だよ。
Rはただの束縛変数。
何の問題もないと思うけど。
0195１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 20:34:16.61「実数の全体」という限定は必要ないのでは？
なお、可算集合は、選択公理がなくても、整列可能
0196１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 20:36:41.60x∈y∨x＝y で定義できると思うけど。
0197１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 20:37:50.99自然数の整列性は、自然数の定義にもよるだろうが、
普通の定義、例えばベアノの自然数なら、証明できる。
その上で、整列順序の存在は、
可算集合と自然数集合との全単射の存在と同値。
可算選択は、数学的帰納法に過ぎない。
0198１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 20:39:02.27自然演繹の∃除去の規則を思い出せば分かると思うんだけど。
0199１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 20:42:57.01可算整列は、数学的帰納法に過ぎない。
の間違い？
0200１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 20:43:03.910201１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 20:58:40.920202１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 21:06:39.40可算選択公理 axiom of countable choice ってのは
A_n≠φ（n∈ω）のとき選択函数 f : N→∪A_n で f(n) ∈ A_nとなるものが存在する、
という主張のことを言うと思うんだけど。
https://www.google.co.jp/search?q=axiom+of+countable+choice
可算集合が整列できないなんていう変な主張のことじゃないよ。
一個以上あるものから一個を取り出すだけなら
（具体的なものを取れるかどうかは分からないけど）選択公理は要らない。
0203１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 21:12:01.550204１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 21:16:21.36だからそれ（存在量化された命題から、一つの実例を選び出す）は選択関数じゃないっての
選択公理とは、「存在量化された命題から、一つの実例を選び出す」という操作を無限回行えることを保証する公理
0205１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 21:20:20.28と言った方がいいかも
0206１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 21:21:32.37空でない集合の族 F = {A_i} (i∈I), A_i ≠φがあったときに
f(i)∈A_i となるような函数
（つまり A_i たちからそれぞれ要素 f(i) をチョイスする函数）
のことを言う、という風に定義されてると思うけど。
選択函数とか或る集合が可算であるとか、可算選択公理とかの
定義を確認した方が良いと思う。
0207１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 21:42:22.59与えられた、空でない集合族 (A_i)_{i∈I} (A_i ≠ φ)の
選択関数を具体的に構成してくれとか、そういう要求でないのかな？
0208１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 22:07:51.000209１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 22:13:21.67書き下すことが不可能なことは、すでに知られているよ。
0210１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 22:14:55.10バナッハタルスキの件も、「具体的には整列しようがない」非可算集合を整列しちゃう
ところから生じているの？
0211１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 22:56:53.370212１３２人目の素数さん
2014/04/06(日) 23:29:06.350213１３２人目の素数さん
2014/04/07(月) 01:22:10.73選択公理のせいではないことは分かっている
0214１３２人目の素数さん
2014/04/07(月) 04:03:21.91曖昧な表現や思い込み･勘違いな表現が多数見受けられましたが。
0215１３２人目の素数さん
2014/04/07(月) 07:04:16.99まああまり高度なポイントではなくて
きちんと本に書いてある定義に則って話をするかどうかということだけど
0216１３２人目の素数さん
2014/04/07(月) 07:07:01.78だから、選択公理のせいではないとは言えない
0217１３２人目の素数さん
2014/04/07(月) 07:42:16.27同じようにパラドクシカルな定理がAC無しに示せるので、
ACの関わっている部分はかなり微妙な部分になる
http://www.pnas.org/content/89/22/10726.full.pdf
0218１３２人目の素数さん
2014/04/07(月) 10:22:44.34定義の意味についての議論もあるね
0219１３２人目の素数さん
2014/04/07(月) 10:24:54.670220１３２人目の素数さん
2014/04/07(月) 10:51:40.770221１３２人目の素数さん
2014/04/07(月) 11:25:50.58>>216
0222１３２人目の素数さん
2014/04/07(月) 11:39:57.090223１３２人目の素数さん
2014/04/07(月) 12:21:03.28本当は必要ないのに、特別な公理が必要だと思い違いをしてて、こっちの方が深刻
0224１３２人目の素数さん
2014/04/07(月) 21:30:48.960225１３２人目の素数さん
2014/04/10(木) 14:04:13.78独立だと思っていたら実は独立でなかったというような公理はなにかあったの？
0226１３２人目の素数さん
2014/04/10(木) 19:16:43.07というか分出公理は置換公理から出て来るとか、
公理同士の依存関係は結構あるよ
分出公理や空集合の存在を除いても確か除いて良い公理があったような
0227１３２人目の素数さん
2014/04/10(木) 19:30:17.10そのつもり。+ ACも + not ACもどちらも直感的に矛盾しそうにない。
> というか分出公理は置換公理から出て来るとか
分出公理と置換公理は、むしろ直感的に等価だと感じる方に属する。
0228１３２人目の素数さん
2014/04/10(木) 19:57:13.17置換公理の方が遥かに強い。
0229１３２人目の素数さん
2014/04/10(木) 20:27:58.02ただ、置換公理->分出公理であることは、直感的にもわかりやすいよね。
一方、分出公理!->置換公理であることはオレにはすぐにはわからないのだが
0230１３２人目の素数さん
2014/04/10(木) 20:36:40.99？
0231１３２人目の素数さん
2014/04/10(木) 20:41:57.100232１３２人目の素数さん
2014/04/10(木) 21:42:15.56累積的階層のR(ω+ω)がZCのモデルになって
置換公理以外は分出も含めて成り立つけど置換公理は満たさない
特に順序数ω＋ωが存在しない
「明らか」という言葉は簡単に証明できると言える場合以外使わない方が無難だと思う
0233１３２人目の素数さん
2014/04/10(木) 22:18:53.70しかもそれが「直観的にも明らか」だと信じてしまっていた経験がある。
後でゲーデルやコーエンの理論を読んで、じっくり反省しました。
0234１３２人目の素数さん
2014/04/10(木) 22:31:37.870235１３２人目の素数さん
2014/04/10(木) 22:58:53.31｢ACがZFから独立である事を証明するには,ZF+¬ACのモデルの存在を言えばいい｣って言うのは何故ですか？
0236１３２人目の素数さん
2014/04/11(金) 09:08:21.810237１３２人目の素数さん
2014/04/11(金) 09:15:05.52それがあなたなりの根拠があってそう直感したということだったとしたら
おもしろいね。どういう根拠だったか知りたい。少なくとも、¬ACの独立性は
正しく直感していたということなわけだし。
>>234
なにか代わりの公理を入れて？
>>235
完全性定理
0238１３２人目の素数さん
2014/04/11(金) 09:48:54.27τ_xR(x)
があるので、これを用いれば選択関数が簡単に作れてしまうという、半ば反則的な方法をとっていたと思う。
0239１３２人目の素数さん
2014/04/11(金) 10:34:19.410240１３２人目の素数さん
2014/04/11(金) 10:57:11.65g(x)=τ_y(y∈f(x))
で定義できる。
0241１３２人目の素数さん
2014/04/11(金) 22:24:32.26たとえば選択公理を認めても選択函数はdefinableなもの
（上で言うところの「具体的」な函数）になるとは
限らないけど、ブルバキのτ（ι記号とも言う）を使。うなら
必ず論理式で具体的に書けるような関数になる
集合論は「明らか」だと思われるようなことに
実は数学的・論理学的にすごく微妙subtleな点があるのが面白さの一つだと思う
0242１３２人目の素数さん
2014/04/12(土) 07:59:17.410243１３２人目の素数さん
2014/04/12(土) 08:33:51.39何年か前に30年近くぶりに新版が出て内容が一変してます。
0244１３２人目の素数さん
2014/04/12(土) 09:08:55.59どの学年でどの程度の知識を持っているのが大体の相場なんでしょうか？
例えば, 学部○年で,松坂の集合位相入門の,濃度･順序数をほぼ完璧に理解。○年で,不完全性定理を理解。
修士or博士○年で強制法理解････とか･･
0245１３２人目の素数さん
2014/04/12(土) 09:57:40.990246１３２人目の素数さん
2014/04/12(土) 12:19:39.02>集合論は「明らか」だと思われるようなことに
>実は数学的・論理学的にすごく微妙subtleな点があるのが面白さの一つだと思う
それは集合論に限ったことではないと思うのだが、どう？
それに、（これも一般に）微妙な点というのは弱みであることも多い
（むしろふつううはそう）と思うが、どう？
0247１３２人目の素数さん
2014/04/14(月) 00:34:27.71それをそのままsubtleに（霊妙に、とでも訳せば良いのか）理解しないといけない。
Einstein曰く、"Subtle is the Lord, but malicious He is not."
神は霊妙ではかりがたい。だが悪意は持たない。
0248１３２人目の素数さん
2014/04/14(月) 07:56:26.63根拠となったのは、以下の主張です。
ZF の任意の可算モデルを M とします。以下、ZF の論理式A(x_1, ... , x_n)
は M に変数を持つものとして解釈します。M は可算だから、整列可能。従って、
任意の論理式 A(y, x_1, ... , x_n) と M の元の列 a_1, ... , a_n に対し、
A(y, a_1, ... , a_n) なる y∈M が存在すれば、そのような y の最小限を
f(a_1, ... , a_n) とおき、A(y, a_1, ... , a_n) なる y∈M が存在しなければ、
M の最小元を f(a_1, ... , a_n) とおきます。
こうすることによって、M 上の論理式には全てスコーレム関数が定義できるわけで、
M は ZFC のモデルとなります。
従って、M 内で AC は真。したがって、完全性定理より、ZF から AC は証明可能。
この論証の間違いを理解するのに、数ヶ月かかりました（笑）
0249１３２人目の素数さん
2014/04/14(月) 17:37:54.29結構体系が別れていて,研究分野としての整理があんまり出来ていない感じがしてるんですけど
0250１３２人目の素数さん
2014/04/14(月) 20:18:07.65ただ一言で様相と言っても我々の言語にはいろいろな種類の様相
（証明可能性、義務、知識、信念、……）があり得るので
そういったことに応じていろんな体系があるという感じに理解すると良いと思う。
唯一のthe 必然性がある訳じゃない。
0251１３２人目の素数さん
2014/04/14(月) 21:07:35.27ACを証明するのにACを使ってしまった、ということでしょ？
ここに書かれたことは、あなたにとってACは、それ自身他の論証の根拠として
つい使ってしまうほど自明のことであったということではないの？あなたが
ACを導いた根拠なのではないよね？
0252１３２人目の素数さん
2014/04/14(月) 21:26:23.17違うような。
ZFの可算モデルを取るときにACを使ってるけど、
「ZFの任意のモデルで〜〜が成り立つ。よってZF |- 〜〜」
を示す時にACを使うのは（あまり）問題が無い。
問題なのはMの住人が「Vは可算」だと信じていないといけないような証明になっているということ。
0253１３２人目の素数さん
2014/04/14(月) 22:05:53.550254１３２人目の素数さん
2014/04/23(水) 10:24:05.52関係するのかと思ってしまうのだが、みなさんはどう？
0255１３２人目の素数さん
2014/04/23(水) 14:16:15.81, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| l＾,人| ` `-' ゝ |
| ` -'＼ ｰ' 人 私は死なないわよ。
| /(l ＿＿／ ヽ、 でも最近一寸太ったかしら。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 Windows ver.10 で
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ 元の痩せた姿にしてよね。
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0256１３２人目の素数さん
2014/04/23(水) 21:38:36.54その定義のされ方に着目することで整列順序付けができてもおかしくは無いのかな、
というイメージはあるけど。
0257１３２人目の素数さん
2014/04/24(木) 13:53:42.75あっ、そうだね。
私がわからないのは、整列可能性 <-> AC の方かな？
これもそんなにおかしいことではない？
0258１３２人目の素数さん
2014/04/24(木) 19:55:50.83あとはただ整列順序に関する a の最小要素を選べば（choiceすれば）良い。
←は、まず全体から一つ要素を選んで一番小さい 0 番目の要素とする。
次に残りから一つ要素を選んで（choiceして）その次に小さい 1 番目の要素とする。
次に残りから……
次に残りから一つ要素を選んで ω 番目の要素とする。
次に残りから一つ要素を選んで ω + 1 番目の要素とする。 ……
というのを残りが尽きるまでひたすら繰り返す。アイデアは簡単だが厳密に書くと結構分かりにくくなる。
0259１３２人目の素数さん
2014/04/24(木) 20:52:34.66>次に残りから…
こう言うと、これらの操作を順々にやるように聞こえるが、ACではもちろん、
これらの操作を一気に（同時に）やるんだよね。
たしかにアイデアは簡単だ。
なのにその独立性を示すのになんで強制法もようなテクニックがいるの？
0260１３２人目の素数さん
2014/04/24(木) 21:02:21.77整列可能性 <-> ACの証明と、ACの独立性証明に、何か関係が？
0261１３２人目の素数さん
2014/04/24(木) 23:24:20.17V=Lが独立なら、CHもACも独立なのじゃなかった？
そして、V=Lが独立なのは明らかだろうと思うのだが。
0262１３２人目の素数さん
2014/04/25(金) 00:21:26.050263１３２人目の素数さん
2014/04/25(金) 09:30:08.22not[ZF|-AC] やnot[ZF|-not AC]を示すのが難しくなるのは
どうしてだろう？ということかな
0264１３２人目の素数さん
2014/04/25(金) 09:33:35.56「あまりにも簡単に証明できるのでバカバカしくて書いてられない」という
意味です。
0265１３２人目の素数さん
2014/04/25(金) 11:43:07.770266１３２人目の素数さん
2014/04/25(金) 12:07:12.740267１３２人目の素数さん
2014/04/25(金) 12:16:17.22優秀なA君「明らかです」
馬鹿なB君「明らかです」
意味が違う
0268１３２人目の素数さん
2014/04/25(金) 14:38:57.250269１３２人目の素数さん
2014/04/25(金) 20:19:13.410270１３２人目の素数さん
2014/04/25(金) 21:05:27.46ZFからACが導けないなら当然V=Lも導けないが
逆を言うのはかなり困難だと思う。
＞V=Lが独立なら、CHもACも独立なのじゃなかった？
これは何情報？
そもそもACを認めない時点で基数の一般論が
ちょっと工夫しないといけなくなるのでその時点で自明とは言い難い
0271１３２人目の素数さん
2014/04/27(日) 13:47:36.65があるとしても、そのうちどれを選ぶのかということを指定するルールを明示しない
限り証明になっていない気がするんだけどあれでいいの？
0272１３２人目の素数さん
2014/04/27(日) 13:57:37.42彼と同じ勘違いをしてるみたいだから
0273１３２人目の素数さん
2014/04/27(日) 13:59:12.710274１３２人目の素数さん
2014/04/27(日) 14:41:00.77整列可能定理とは、任意の集合Xに対してX’≠φが成り立つということ。
選択公理とは、添え字付けられた空でない集合の族(A_λ｜λ∈∧)に対して
Π_λ A_λ ≠ φが成り立つということ。
選択公理を証明するとはすなわち、単にΠ_λ A_λ ≠ φを示すことに他ならない。
Π_λ A_λ ≠ φを示すには、空でない集合YであってY⊂Π_λ A_λを満たすものを
1つ作れば十分である。
添え字付けられた空でない集合の族(A_λ｜λ∈∧)は(∪_λ A_λ)’≠φを満たすとする。
写像 F：(∪_λ A_λ)’→ Π_λ A_λを以下のように定める。
まず、ρ∈(∪_λ A_λ)’を任意に取る。このとき、(∪_λ A_λ, ρ)は整列集合である。
各λ∈∧に対して、f(λ)：＝min A_λとして写像 f ：∧→∪_λ A_λを定める。
ただし、右辺のminは(∪_λ A_λ, ρ)におけるminとする。従って、このfはρごとに定まる。
F(ρ)：＝f として F(ρ) を定義すれば F(ρ)：∧→∪_λ A_λである。
特にF(ρ)∈Π_λ A_λである。ρ∈(∪_λ A_λ)’だったから、以上より
写像 F：(∪_λ A_λ)’→ Π_λ A_λが定義できた。
Y＝{ F(ρ)｜ρ∈(∪_λ A_λ)’}と置けば、(∪_λ A_λ)’≠φにより Y ≠ φ である。
また、F：(∪_λ A_λ)’→ Π_λ A_λにより Y ⊂ Π_λ A_λ である。
従って φ ≠ Y ⊂ Π_λ A_λ となったので、Π_λ A_λ≠φである。以上より、次が言えた。
・添え字付けられた空でない集合の族 (A_λ｜λ∈∧) が (∪_λ A_λ)’≠φを満たすならば、
Π_λ A_λ ≠ φである。
系：整列可能定理が成り立てば選択公理も成り立つ。
0275271
2014/04/27(日) 14:45:43.56いや、>>270の人が言っている疑問とは違くて、ある集合に適切な順序関係を加えれば整列集合とすることができるので
個々の部分集合から最小値を取り出せる、よってその最小値を取り出す操作を選択関数
とするって証明に書いてある。だけどその際適切な順序関係がたくさんある中からひとつを
選ぶ操作を指定しない限り選択関数を指定していることにならないと思うんだけどどうなんだろ。
0276275
2014/04/27(日) 14:49:19.48あ、分かった。ありがとう。そうか空でないと言えればそれでいいのか。
0277１３２人目の素数さん
2014/04/27(日) 20:05:45.29整列可能の定義を何だと思ってたの？
0278１３２人目の素数さん
2014/04/28(月) 01:29:11.69赤 攝也『集合論入門』(ちくま学芸文庫)は古すぎるでしょうか？
0279１３２人目の素数さん
2014/04/28(月) 02:04:42.24共立『Q&A数学基礎論入門』
文系学生対象の講義を元にした本らしい
一応ZFの公理系は書いてある
0280１３２人目の素数さん
2014/04/28(月) 05:14:45.43この本はどうですか？
0281１３２人目の素数さん
2014/04/28(月) 10:23:25.13難しいのね？なぜ？
0282１３２人目の素数さん
2014/04/28(月) 11:36:45.330283１３２人目の素数さん
2014/04/28(月) 14:36:22.88歴史的には、ZF+not{V=L}の無矛盾性の証明はできることはわかっていたが、
どのように証明するかに手間取ったの？
人間版不完全性定理っていうのはないの？
0284１３２人目の素数さん
2014/04/28(月) 16:22:19.89達すれば何だってスラスラ解けるものだ』。こういう表現だったかどうか正確ではないが
確か（岡潔）先生はそういう意味のことをおっしゃったと思う」
--- 広中平祐
0285１３２人目の素数さん
2014/04/28(月) 17:44:21.52, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0286１３２人目の素数さん
2014/04/28(月) 21:48:52.72赤さんの本は公理的集合論の本ではないけど、
公理的な集合論を勉強する前に学部レベルの
素朴集合論の本の内容を身につけた方が効率が良いと思う
（ついでに言うと一階述語論理は先に勉強するに越した事は無い）。
難波完爾先生の本は独特な味がある本だけど、初学者には難しい。
正直な所、Kunenを読む一歩手前の人に適当だと言えるような
水準の本は日本語ではなかなか無い。
「ゲーデルと20世紀の論理学」シリーズの四巻第一章が割とそれに近いか。
0287１３２人目の素数さん
2014/04/28(月) 21:52:44.05>>283
具体的に構成したり定義したり出来るような対象は
必ずLに含まれるので、V=Lとその否定のどちらが正しそうかと
集合論の知識の無い非専門家の数学者に聞くと、
V=Lが成り立つ方が尤もらしいと答える人が多い。
V=Lの無矛盾性は、実際にLの要素の集まりを考えて
それがZF+V=Lのモデルになっていることを示すだけで良いけど、
その否定の無矛盾性はその種のVを削るような方法では示せず、
モデルを拡大する操作が必要になる。
0288１３２人目の素数さん
2014/04/29(火) 01:43:02.27>赤さんの本は公理的集合論の本ではないけど、
>公理的な集合論を勉強する前に学部レベルの
>素朴集合論の本の内容を身につけた方が効率が良いと思う
>（ついでに言うと一階述語論理は先に勉強するに越した事は無い）。
えっと、よくわからないですが、赤さんの文庫本は「学部レベルの素朴集合論の本」ではないんですね？
別の本で「学部レベルの素朴集合論」をやるべきということですね？具体的な書名をおしえてください。
0289１３２人目の素数さん
2014/04/29(火) 12:53:55.74学部レベルの素朴集合論の本だとは言っても良いんじゃないの？
このレベルの本はどれも大して優劣は無いからどれでも気にいった本で良いよ。
日本語の本で
諸定義、集合に関するブール演算、選択公理、濃度、順序数、
という順序で基本的なことを解説するパターンの本はどれでもほぼ同じ。
0290１３２人目の素数さん
2014/04/29(火) 20:12:32.06>集合論の知識の無い非専門家の数学者に聞くと、
>V=Lが成り立つ方が尤もらしいと答える人が多い。
それは違うのじゃないかな？一般人（非専門家）はむしろ「世界は具体的
に構成したり定義したり出来るような対象だけとは限らないだろう」と
考えて、not{V=L}はあり得ることと考えるのではないか？「V=Lだ！」
とも言わないだろうが。つまり、一般人は、V=Lとnot(V=L)のどちらも
あり得ることだと直感しているのじゃないかな？
0291１３２人目の素数さん
2014/04/30(水) 11:57:41.41syntacticalにやる方法を書いたものってなにかありますか？
0292１３２人目の素数さん
2014/04/30(水) 20:56:21.74たとえば新井敏康の数学基礎論の第八章（証明論の章）には
集合論KPの無矛盾性の統語論的証明がある
0293１３２人目の素数さん
2014/04/30(水) 21:06:35.91ありがとうございます。見てみます。（モデルの有無だけでは、なぜ無矛盾
なのかはわかりにくいと思ったので）
0294１３２人目の素数さん
2014/05/01(木) 00:23:17.13健全性定理という一つの定理
0295１３２人目の素数さん
2014/05/01(木) 07:58:11.74完全性定理ですね。それはわかっているのですが、
私が「なぜ」と言ったのは、「どういうしくみ・理由で」無矛盾なのかを知りたい
という意味でした。モデルの存在からは、「とにかく無矛盾」としかわからないと
思うので。
0296１３２人目の素数さん
2014/05/01(木) 08:07:27.460297１３２人目の素数さん
2014/05/01(木) 21:07:07.92M |- not φ は M |- φの否定と同値だから
矛盾した理論を解釈するモデルがあったら
意味論のレベルで矛盾律（Aかつnot Aとはならない）が
破綻してしまう。だから
矛盾律 ⇒ 矛盾した理論にはモデルは無い i.e. モデルがあるなら無矛盾
としか言いようがない気がする。
0298１３２人目の素数さん
2014/05/01(木) 22:24:07.38なく無矛盾で独立な公理系を設定するものだ。
そのとき彼らは必ずしもモデルの存在を確認してそれらの公理系を設定する
わけではないだろう（たとえばユークリッドも）。
ということは、モデルの存在というのは力ずくの最終確認手段に過ぎず、
無矛盾性や独立性を察知するもっと早い方法があるということなのじゃ
ないかな？
0299１３２人目の素数さん
2014/05/01(木) 23:00:16.900300１３２人目の素数さん
2014/05/02(金) 01:05:46.05チャーチの論理定数を含むラムダ計算の体系も矛盾していたため
数学の基礎付けに使おうという元の目的は達しなかった。
ラインハルト基数も矛盾していることが分かった対象の例。
およそ公理系を設定する人は〜というのは何を根拠に言ってるのか。
証明論的に無矛盾を示すためには、可算順序数で整列順序が複雑なものを
表記法を工夫して相当テクニカルに示さないといけないので
モデルを構成するよりも難しくて面倒で「もっと早い方法」とは到底言えない。
0301１３２人目の素数さん
2014/05/02(金) 01:53:49.43デブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ね
デブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ね
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0302１３２人目の素数さん
2014/05/02(金) 09:17:05.88まあ間違わないと言っただけで、間違う場合もあるでしょう。
それに、フレーゲ、チャーチの場合は（ラインハルトは知らないが）、
公理系の矛盾と言うより、言語そのものに内在したパラドクスと言うべきと
思うのだが。
3次元空間で4つの基底を指定されたときにはすぐに独立でないと察知できる
わけだが、公理系の場合も或る程度それに似たことができるのではないかな？
少し前に議論されていたACなんかも、ACを一見しただけで、ZFからはそれ
（あるいはその否定）が出てくるはずはないと察知できるよね？
0303１３２人目の素数さん
2014/05/02(金) 12:34:04.310304１３２人目の素数さん
2014/05/02(金) 12:55:03.740305１３２人目の素数さん
2014/05/02(金) 12:58:00.50さすがクズ哲はあたまいいねー
0306１３２人目の素数さん
2014/05/02(金) 13:11:47.000307１３２人目の素数さん
2014/05/02(金) 13:32:33.950308１３２人目の素数さん
2014/05/02(金) 14:29:42.870309１３２人目の素数さん
2014/05/02(金) 15:56:03.76まともではない
0310１３２人目の素数さん
2014/05/02(金) 21:31:12.78述語論理のような論理学や言語の部分も公理や推論規則を立てて
形式的に扱うべきだ、というのがツェルメロ・フレンケル・スコーレムや
ゲーデル・ノイマン以後の集合論の考え方。
そうしないと、「きっと独立に違いない」とただ信じることは出来ても独立性を証明することはできない。
＞公理系の場合も或る程度それに似たことができるのではないかな？
「或る程度」、多少はね。ただモデルがあるかどうかはっきりせず、
意味論を後から考えないといけないような場合には一般には難しい。
0311１３２人目の素数さん
2014/05/02(金) 21:32:44.59＞（あるいはその否定）が出てくるはずはないと察知できるよね？
じゃあ例えば>>248や
http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1348851752/561 の疑問にすぐに答えられる？
ここは集合論を勉強する上で初学者がかなり引っ掛かりやすいポイントで、
でも個人的にはかなり微妙で面白い部分だと思う。
実際にそういう察知が出来てればカントルはあんなに苦労してなかったはずだし、
（カントルやツェルメロの時代の数学者は>>>302に比べてバカばかりだったとでも言わない限り）
ツェルメロの公理系の選択公理に対する否定的反応も起こらなかったはず。
それにヒルベルトの23問題の第1問題は連続体仮説だけど、彼や当時のその他大勢の数学者は
連続体仮説が集合論の公理系から証明も否定もできない、という可能性は
あまり深刻に考えてなかったはずだよ。
それとも連続体仮説は証明できそうに思えても仕方ないが選択公理はそうではない、
と言えるに足る理由が何かある？
歴史をあまり知らないと後知恵で当然だと思ってしまうことも、
知識が無い段階でいざ証明しようとすると全く自明でないことがしばしばある。
ニュートン曰く、" If I have seen further it is by standing on ye sholders of Giants."
私がより遠くまで見渡せたとするならば、それは巨人の肩の上に乗っていたからだ。
"Dicebat Bernardus Carnotensis nos esse quasi nanos, gigantium humeris insidentes,
ut possimus plura eis et remotiora videre, non utique proprii visus acumine,
aut eminentia corporis, sed quia in altum subvenimur et extollimur magnitudine gigantea."
Bernard de Chartres(12C)
0312１３２人目の素数さん
2014/05/06(火) 08:17:04.64>ZF の任意の可算モデルを M とします。...
>従って、M 内で AC は真。したがって、完全性定理より、ZF から AC は証明可能。
ここは単に、Mが「任意のモデル」でないので完全性定理を適用できないだけではないの？
0313１３２人目の素数さん
2014/05/06(火) 11:51:04.33非可算でACが成立しないモデルがあったら
可算でACが成立しないモデルも取れるから良いんじゃないの？
0314１３２人目の素数さん
2014/05/06(火) 17:59:38.53ゆっくり言ってくれる？
0315１３２人目の素数さん
2014/05/06(火) 21:02:01.43日本語はまだ苦手なの？
0316１３２人目の素数さん
2014/05/06(火) 21:42:40.15L-S-下降定理:
言語 L 上の理論 T の任意のモデル M は
濃度κ = max(|L|, ω)の初等部分構造 N ＜ M を持つ。
（とくにNとMは全ての閉論理式の真偽が同じになる。）
ZFの言語は可算だからκはアレフ0になる。
だから>>248の最初の文は
「ZFの任意のモデルをM'とし、その可算な初等部分構造を M とします。」
とすれば、最後の部分も
「したがって M 内でACは真、したがって M' 内でACは真、したがって、完全性定理より」
とすれば通用する。
まあその間の部分に間違いがあるから結局ダメなんだけど。
0317１３２人目の素数さん
2014/05/06(火) 22:12:52.18完全性定理の証明を読んだことがあるならば、判るはずだ。
0318１３２人目の素数さん
2014/05/06(火) 22:21:02.710319１３２人目の素数さん
2014/05/07(水) 23:53:49.21モデルの内外って分かりにくいわ
0320１３２人目の素数さん
2014/05/08(木) 12:45:18.95そう書いてあるものが多いが）。
無限公理とベキ集合公理を満足するモデルを空集合から始めて地道に構成
して行ってみればわかるよ。
0321１３２人目の素数さん
2014/05/08(木) 12:56:17.36>「ZFの任意のモデルをM'とし、その可算な初等部分構造を M とします。」
ここでACを使っていないの？
0322１３２人目の素数さん
2014/05/08(木) 20:00:37.74論理式の集まりに整列順序を入れられる。
だからこの場合ACは無くても可算な初等部分構造を取れる。
0323１３２人目の素数さん
2014/05/08(木) 20:02:56.41「Tからφが証明できる⇔Tの任意のモデルでφが真」
を示すのにACが必要だという話と、
TがACを含まないZFだという話は水準が違う話だから区別しないと。
0324１３２人目の素数さん
2014/05/10(土) 12:19:33.56それってV=Lを仮定した議論じゃない？
0325１３２人目の素数さん
2014/05/10(土) 12:29:46.040326１３２人目の素数さん
2014/05/10(土) 13:59:23.540327１３２人目の素数さん
2014/05/19(月) 18:51:54.49遅レスだが、ZFCの公理の中では、正則性公理だけが（集合存在について）禁止的公理だ。
だから、正則性公理を除いた公理系が無矛盾であることはほぼ自明であるし、
正則性公理を除かない場合も、無矛盾性を示すには正則性公理だけに注意しておけばよい、
なんていうことはないの？ｗ
0328１３２人目の素数さん
2014/05/19(月) 21:44:07.11> 禁止的公理だ。
「禁止的公理」ってなんだよ。任意の公理は（お前の言う）禁止的にも非禁止的にも表現できるぞ。
> 正則性公理を除いた公理系が無矛盾であることはほぼ自明である
数学を学ばないやつってある意味無敵、の一例だな。
0329１３２人目の素数さん
2014/05/19(月) 22:03:57.17どれか他の公理を禁止的に書いてみてくれるか？
0330１３２人目の素数さん
2014/05/19(月) 22:30:20.090331１３２人目の素数さん
2014/05/19(月) 23:07:50.97"禁止的"って言うニュアンスを込めたように,俺は読める。
0332１３２人目の素数さん
2014/05/19(月) 23:18:31.10>任意の公理は（お前の言う）禁止的にも非禁止的にも表現できるぞ。
こう言ってるかれ（きみか？）は、定義がわかってるはずだよｗ
0333１３２人目の素数さん
2014/05/19(月) 23:28:21.810334１３２人目の素数さん
2014/05/20(火) 06:49:17.170335１３２人目の素数さん
2014/05/20(火) 07:59:09.38禁止的じゃないのかとか言わると困るんじゃないのかと思うんだけどね。
それに任意の集合族に選択函数が存在するという選択公理と
任意の無限ゲームに必勝法が存在するという決定の公理は矛盾するし。
0336334
2014/05/20(火) 08:58:02.97という>>328の主張に興味がわいたので質問しただけです。
>>328以外の方はスルーしてください。
0337１３２人目の素数さん
2014/05/20(火) 09:49:10.26正則性公理をはずすと、∃X∀x[x∈X] を公理に加えても矛盾しなくなり
ますが、これでなにかおもしろいことは起きるのでしょうか？
正則性公理をはずした時点で超集合論ができることは知っていますが。
0338１３２人目の素数さん
2014/05/20(火) 16:15:54.350339１３２人目の素数さん
2014/05/20(火) 16:34:29.17任意の集合 B について、{A_λ}_{λ∈Λ} をどれも空集合でないような集合の族とすると、それらの直積が
(∏_{λ∈Λ}A_λ) ⊂ B となるような {A_λ} は存在しない。
0340１３２人目の素数さん
2014/05/20(火) 16:42:19.35馬鹿？
0341１３２人目の素数さん
2014/05/20(火) 16:51:19.750342１３２人目の素数さん
2014/05/20(火) 16:52:07.480343１３２人目の素数さん
2014/05/20(火) 17:35:35.32>>335によって粉砕された模様
0344１３２人目の素数さん
2014/05/21(水) 01:35:15.00~は存在しないという形ならなんでもいいんだ？
0345１３２人目の素数さん
2014/05/21(水) 07:45:18.330346１３２人目の素数さん
2014/05/21(水) 09:12:28.34はあ？
0347１３２人目の素数さん
2014/05/21(水) 09:32:44.770348１３２人目の素数さん
2014/05/21(水) 10:45:12.28∃X∀x[x∈X]を公理にすると分出公理からラッセル集合が作れるので正則公理無しでも矛盾します
0349１３２人目の素数さん
2014/05/21(水) 11:12:37.03∃X∀x[x∈X]で存在保証されたXをAとおいて、
B={x∈A|not(x∈x)}を考えれば不合理に陥りますね。
空集合の反対があってもよいのにと思ったのですが、
うまくいかないものですね。なぜでしょうか？ｗ
0350１３２人目の素数さん
2014/05/21(水) 11:36:40.54これならどうなる？
0351１３２人目の素数さん
2014/05/21(水) 11:39:52.050352１３２人目の素数さん
2014/05/21(水) 11:39:57.73アンタ大丈夫か？
0353１３２人目の素数さん
2014/05/21(水) 15:13:19.92「証明は奴隷の仕事。俺は哲学徒だから物事を俯瞰的に観るのだ」などとほざいてんだろうなあ
0354１３２人目の素数さん
2014/05/23(金) 18:48:04.970355１３２人目の素数さん
2014/05/23(金) 23:44:33.55集合論の話をブルーバックス程度で聞きかじった程度の知識で無知さらけ出してる人も居るようですね。
0356１３２人目の素数さん
2014/05/24(土) 01:54:55.650357１３２人目の素数さん
2014/05/24(土) 01:56:39.610358１３２人目の素数さん
2014/05/24(土) 01:57:22.450359１３２人目の素数さん
2014/05/24(土) 20:03:39.03居る？居ないと思うけど。
0360１３２人目の素数さん
2014/05/24(土) 21:05:36.57> 分出公理からラッセル集合が作れる
ラッセル集合って真のクラスであって集合の元にはならないから、
分出公理からラッセル集合は作れないと思うのだが
0361１３２人目の素数さん
2014/05/25(日) 13:36:36.03よくわからんが X∈{X} が成り立たないような X が存在してほしい、ってことなんじゃないの？
そのためには対集合を作る操作に制限をかけざるを得ないが。
0362１３２人目の素数さん
2014/05/25(日) 13:59:00.40>>349にある通り作れる
0363１３２人目の素数さん
2014/05/25(日) 15:09:49.53分出公理と内包公理をごっちゃにしてないか
0364１３２人目の素数さん
2014/05/25(日) 15:14:39.07＞∃X∀x[x∈X] を公理に加え
と書くくらいなのだから
>>337は、Xをクラスではなく集合のつもりで書いてあるのでは？
0365360
2014/05/25(日) 15:25:33.520366１３２人目の素数さん
2014/05/25(日) 19:01:26.300367１３２人目の素数さん
2014/05/25(日) 20:51:09.33>>311はその道のプロ。
その他はだいたいふつうの愛好家。
集合論を学んでいるｗことを特別なことのように思っている若い学生が少し居るｗ
0368359
2014/05/25(日) 22:04:52.83平均的な数学研究者よりは詳しいかもしれないけど
集合論の博士課程レベルの話じゃないよ。
学部には普通は集合論の講義は無いけど、
Kunen一冊読めば分かるレベルだからせいぜい修士初年級のレベル。
0369１３２人目の素数さん
2014/05/25(日) 22:41:21.77詳しいかどうかよりも。でもニュートンはいらんかったかな？ｗ
0370１３２人目の素数さん
2014/05/26(月) 01:19:31.61カナモリの巨大基数挑戦したいしKunenも挑戦したい
0371１３２人目の素数さん
2014/05/26(月) 09:52:15.770372１３２人目の素数さん
2014/05/26(月) 10:05:42.000373１３２人目の素数さん
2014/05/27(火) 00:26:05.59ほとんど数学と文学どっちを勉強するのが良いですか？って質問に近いぞ
0374１３２人目の素数さん
2014/05/27(火) 00:31:05.98新版は、
・モデル理論などの或る程度の知識を前提としているので
その分self-containedではない
・その代わり旧版よりかなり議論が整理されている。
・旧版出版後に分かって来た事実についてかなりupdateされている。
・演習問題が、旧版では章末に纏められていたけど新版では本文の間に挿入されている
・旧版の演習問題は、訳者が解答集を作成している
0375１３２人目の素数さん
2014/05/27(火) 10:46:25.65そんなに違わんやろｗ
英語と独語のどっち、くらいの違いだがや
答えてやれよ
0376１３２人目の素数さん
2014/05/27(火) 11:19:46.06■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています