「センターの問題は、誘導なしだと意外と難しい」と聞いたことがあるので、満点者が少なかったらしい09'数IIBから誘導を極力除いてみた。

第1問
[i] x≧2, y≧2, 8≦xy≦16のとき、z=log_{2}(√x)+log_{2}(y)の最大値を求めよ。
[ii] 0≦θ＜2πの範囲で、5sinθ-3cos2θ=3を満たすθを、小さい方からθ[1],θ[2]とする。
　　不等式nθ[1]＞θ[2]を満たす自然数nのうち、最小のものを求めよ。
　　（ただし、必要ならば、次の値を用いてもよい：cos(π/5)=(1+√5)/4, cos(π/12)=(√6+√2)/4）

第2問
放物線y=2x^2をC、点(1,-2)をAとする。
(1) 点Q(u,v)に関して、点Aと対称な点をP(x,y)とする。QがC上を動く時の点Pの軌跡Dを求めよ。
(2) 放物線C,Dの交点をR,Sとして、そのx座標をr,s(r<s)とする。
　　また、Pを放物線D上の点とし、Pのx座標をaとおいて、Pからx軸に引いた垂線と放物線Cとの交点をHとする。
　　r<a<sのとき、三角形PHRの面積S(a)、およびS(a)が最大となるようなaを求めよ。
(3) (2)で求めたaの値をmとする。a=mのとき、直線HRと放物線Dの交点のうち、Rと異なる点のx座標をkとする。
　　k≦x≦mの範囲で、放物線Dと直線PHおよび直線HRで囲まれた図形の面積を求めよ。

第3問
{a[n]}を初項a[1]が1で公比が1/3の等比数列とする。
(1) 数列{b[n]}をb[n]=a[2n] (n=1,2,3,...)で定める。積b[1]b[2]…b[n]を求めよ。
(2) 数列{c[n]}をc[n]=2n×b[n] (n=1,2,3,...)で定め、U[n]=Σ[k=1,n](c[k])とおく。U[n]を求めよ。

第4問
Oを原点とする座標空間における5点をA(0,0,1), B(1,0,0), C(0,2,0), D(-1,0,0), E(0,-2,0)とする。
ひし形BCDEを底面とする四角錐A-BCDEと、平面ABCに平行な平面との共通部分について考える。
点B[1]を線分BEをa:(1-a)に内分する点とする。
(1) 点A[1]をOA[1]↑=OA↑+BB[1]↑で定める。線分A[1]B[1]と線分AEが交点E[1]をもつことを示せ。
(2) 点C[1]をOC[1]↑=OC↑+BB[1]↑で定める。線分A[1]C[1]と線分ADの交点D[1]をもつことを示し、
　　四角形B[1]C[1]D[1]E[1]の面積を求めよ。
(3) |B[1]D[1]↑|を求めよ。