なんでいちいち互いに素な整数の分数で表せるという有理数の性質を無駄に持ち出すんだろう

あと無理数の定義は「有理数でない実数」なんだから有理数でないことを示せばいいだけ。いちいち「矛盾」だとか「背理法」だとか言わなくていいよ。