f(x)は単調増加な下に凸な関数であるため区間[d.e]の任意の点xにおいてh(x)>f(x)である。
今、点b,cは[d,e]にあるのでh(b)>f(b)、h(c)>f(c)が成り立っている。
補題より[b,c]内の任意の点aについてh(a)>g(a)である。

補題
直線f1(x),直線f2(x)において、f1(a)>f2(a)かつf1(b)>f2(b)ならば[a,b]の任意の点xについて
f1(x)>f2(x)が成り立つ。

こんなのも考えてみた。