「図形S,Tが相似であり、その相似比が1:pであるとする。このとき、SとTの面積比が1:p^2であることを証明せよ」
という問題が出たとしたら、高校数学の範囲でどういう風に証明すればいいんでしょうか？
次のような感じで書こうと思ったんですが、途中から自分で何言ってるか分かんなくなっちゃって……

・まず、図形Sを直交座標系に置き、x軸方向の区間でn分割する。そして、図形Sのうち、k番目の区間に含まれる部分をS[k]とする。
このS[k]の各々に対して、それに内接する長方形をSi[k]、外接する長方形をSo[k]とする。
このとき、Si[k]≦S[k]≦So[k]となるから、ΣSi[k]≦ΣS[k]≦ΣSo[k]、すなわちΣSi[k]≦S≦ΣSo[k] ……(1)
・同じ直交座標系に図形Tを置いて、x軸方向の区間でn分割して、図形Tのうちk番目の区間に含まれる部分をT[k]とするとき、
T∽Sであることから、「すべてのkについてT[k]∽S[k]」を満たすような分割が存在する。
そのように分割されたT[k]の各々に対して、それに内接する長方形をTi[k]、外接する長方形をTo[k]とすると、
Si[k]∽Ti[k]、So[k]∽To[k]であり、相似比はいずれも1:pである。 ……(2)
また、Ti[k]≦T[k]≦To[k]となるから、ΣTi[k]≦ΣT[k]≦ΣTo[k]、すなわちΣTi[k]≦T≦ΣTo[k] ……(3)
・長方形の面積は(幅)×(高さ)で求められるから、2つの長方形が相似で、相似比が1:pであるとき、その幅もp倍,高さもp倍になる。
ゆえに、面積はp×p=p^2(倍)になる。
・このことから、(2)より、Ti[k]=(p^2)Si[k], To[k]=(p^2)So[k]
ゆえに、(3)から、(p^2)ΣSi[k]≦T≦(p^2)ΣSo[k] ……(4)
・分割数nについて、n→∞とすると、区分求積法の考え方から、(1)の各項はすべてSに収束する。
このとき、(4)の第1項と第3項についても同様のことが言えるから、はさみうちの原理より、T=(p^2)S。すなわち、S:T=1:(p^2)