Rの部分集合族Uを
U={R-A;Aは有限集合}∪{φ}
で定義する。ただし空集合は有限集合とする。この時以下を示せ。
(1)UはR上の位相を定める。
(2)(R,U)はハウスドルフ空間ではない。
(3)実係数多項式g(x)により定まる写像g:(R,U)→(R,U)は連続である。
(4)正弦関数sinxにより定まる写像 sin:(R,U)→(R,U)は連続でない。


考えてみたのですが、(1),(2)は
U={R-A;Aは有限集合}∪{φ}
↓
U={R∩B;B^cは有限集合}∪{φ}
↓
U={B⊂R;B^cは有限集合}∪{φ}
となる書き換えが正しいならば証明できましたが、一番下の矢印の変形を当たり前にしてしまっても良いのか分かりません。

(3)(4)に関しては完全にお手上げです。どなたか宜しくお願いします。