与式：
n!(p^k){q^(n-k)}{nq(nq-1)…(nq-k+1+np)} / {(nq)!(np)!(np+k-np)(np+k-np-1)…(np+1)}

スターリングの近似により

n! ≒ (√2πn)(n/e)^n
nq! ≒ (√2πnq)(nq/e)^nq
np! ≒ (√2πnp)(np/e)^np

n! / {(nq)!(np)!}
≒(√2πn)(n/e)^n / {(√2πnq)(nq/e)^nq (√2πnp)(np/e)^np}
＝1 / (√2πnpq)(p^np)(q^nq)

よって
与式 = {p^(k-np)}{q^(np-k)}{nq(nq-1)…(nq-k+1+np)} / (√2πnpq){(nq)!(np)!(np+k-np)(np+k-np-1)…(np+1)}
= [ {nq(nq-1)…(nq-k+1+np)} / q^(k-np) ] / [ (√2πnpq){(nq)!(np)!(np+k-np)(np+k-np-1)…(np+1)} / p^(k-np) ] ――(1)

ここで nq(nq-1)…(nq-k+1+np) も (np+k-np)(np+k-np-1)…(np+1)} も
掛け合わせる項の数はk-np個
なので各項を分子はnq、分母はnpで割れば
三行目の式を得る