>>289
（補題）a,b,…,cが１以上の整数ならば,(a+b+…+c)!/(a!b!…c!)は整数である,
（証明）
任意の素数pについて(a+b+…+c)!がpで割れる最大回数は
　[(a+b+…+c)/p]+[(a+b+…+c)/p^2]+…+[(a+b+…+c)/p^n]
　※nは[(a+b+…+c)/p^n]=0となる十分大きな整数をとればよい.

a!がpで割れる最大回数は,[a/p]+[a/p^2]+…+[a/p^n]
b!がpで割れる最大回数は,[b/p]+[b/p^2]+…+[b/p^n]
・・・
c!がpで割れる最大回数は,[c/p]+[c/p^2]+…+[c/p^n]
ここで[a+b+…+c]≧[a]+[b]+…+[c] なので,
分子がpで割れる最大回数≧分母がpで割れる最大回数
よって(a+b+…+c)!/(a!b!…c!)は整数.

n＝１のとき
2nCn/(n+1)＝2/2 整数

nが２以上の整数のとき
2nCn/(n+1)
=(2n)!/{(n+1)n!n!}
={(n+1)-n}(2n)!/{(n+1)!n!}
=(n+1)(2n)!/{(n+1)!n!}-n(2n)!/{(n+1)!n!}
=(2n)!/{n!n!} -(2n)!/{(n+1)!(n-1)!} >>294 カタラン数とおなじです。

補題より(2n)!/{n!n!}と(2n)!/{(n+1)!(n-1)!}は整数である.