できました。あっていますか？

a>0とする。
実数ε>0を任意に取る。ε' = min(a^2/2, ε)となるようにとれば、ε≧ε'>0である。また
a^2 > a^2/2 ≧ min(a^2/2, ε) = ε'であるから、a^2 - ε' > 0である。
0 < ε' = (a^2+ε')-a^2 = (√(a^2+ε')-a)(√(a^2+ε')+a)、√(a^2+ε')+a>0であるから、
0 < √(a^2+ε')-aである。
0 < ε' < a^2-(a^2-ε') = (a-√(a^2-ε'))(a+√(a^2-ε'))、a+√(a^2-ε')>0であるから、
0 < a-√(a^2-ε')である。
よって、min(√(a^2+ε')-a, a-√(a^2-ε')) > 0である。

min(√(a^2+ε')-a, a-√(a^2-ε')) > δ > 0となる実数δを任意に取る。
√(a^2+ε')-a ≧ min(√(a^2+ε')-a, a-√(a^2-ε')) > δだから、
√(a^2+ε') > a+δである。
また、
a-√(a^2-ε') ≧ min(√(a^2+ε')-a, a-√(a^2-ε')) > δだから、
a-δ > √(a^2-ε')である。

√(a^2+ε') > a+δ > x > a-δ > √(a^2-ε')となる任意のxをとる。
√(a^2+ε') > x > √(a^2-ε')だからa^2+ε' > x^2 > a^2-ε'である。
よって、a^2+ε≧a^2+ε' > x^2 > a^2-ε'≧a^2-εである。

以上まとめると、任意の実数ε>0に対して、上のように実数δ>0をとれば、
|x-a|<δを満たす任意の実数xに対して、|x^2-a^2|<εが成り立つ。