京大の2009年の問題ですが
a,bを互いに素な自然数とする。
(a+b√2)^n=a[n]+b[n]√2とする。
√2が無理数であることは証明不要
問題は
(2)全てのｎに対して、a[n]は奇数であり、a[n]とb[n]が互いに素であることを示せ
です。
(1)はn=2のときの証明でした
前半はすぐにわかったのですが、後半の解法で以下のように最初考えたのですが手詰まりです。
この方針で証明することは不可能ですか？
（解）
a[n+1]=a*a[n]+2b*b[n]　･･･①
b[n+1]=a*b[n]+b*a[n] ･･･②

数学的帰納法でa[n]とb[n]が全ての自然数ｎにおいて互いで素･･･☆
であることを示す。
n=1のとき、問題の条件より☆成立。
ｎ＝ｋ（ｋ≧1）のときの☆の成立を仮定。
ここで、a[n],b[n],a,b,の素因数の集合をそれぞれ
A[n],B[n],A,Bと表す。
一般に２つの自然数p,qにおいてその素因数の集合をP,Qとおくと2積pqの素因数の集合はP∪Qとなるため
条件と仮定より
Ak∩Bk＝φ･･･③　A∩B＝φ･･･④
a*akが奇数であるから、③、④より
(A∪Ak)∩(B∪Bk)=φ･･･⑤　(B∪Ak）∩(A∪Bk)＝φ･･･⑥　が成立。
・・・
この後背理法から攻めようとも思いましたがうまくいきません。
示すべきはAk+1∩Bk+1=φなのですが、①②のためにうまくいきません。