点(3,4)から楕円x^2/16+y^2/9=1に引いた2つの接線は直交することを示せ。

点(3,4)から楕円に引いた接線tの方程式をy-4=m(x-3)とおいて、楕円の方程式と連立すると、xの2次方程式が得られる。
接点tと楕円が接することから、xの2次方程式は重解を持つ。
よって、(判別式)=0とすると、今度はmについての2次方程式7m^2+24m-7=0が得られる。
この2解をm_1,m_2とすると、これらは2つの接線tのそれぞれの傾きを表す。
解と係数の関係から(m_1)(m_2)=-1であるから、2つの接線は直交する。

解けることは解けるんですが、なんか題意に対して遠回りしてるような気がしてなりません
もうちょっとうまい解き方はないんでしょうか？