球の表面積を証明する方法として
体積を微分というのもありますが、周の長さを積分してみようと思いました。

x^2+y^2+z^2<=r^2 でz=kとすると
x^2+y^2<=r^2-k^2 これは半径√(r^2-k^2)の円だから
周の長さは2π√(r^2-k^2)
これを-rからrまで積分して、表面積Sは
S=2∫[0,r]2π√(r^2-k^2)dk
=4π∫[0,r]√(r^2-k^2)dk
∫[0,r]√(r^2-k^2)dkは、ky平面上で原点を中心とする半径rの円の、0<=k<=rの部分の面積に等しくπr^2/4
よってS=π^2r^2
となり合いません。
どういった理由で無理なのでしょうか。逆になぜ体積のほうは断面積の積分で求められたのでしょうか。