前の>>825=>>834=>>836だが、2＜e＜3と3＜π＜4を使えば、前の>>819の問題
5.8<e+π<5.95を証明せよ。
の解答はもっと簡単に出来る。
ただ、高校までの範囲でe＜3をどうやってきれいに示すのかが分からない
(仮に必要なら他は高校までの範囲で示せる。出題者が出したという不等式とやらも未だに分からない。
一昨日した(1+1/4)^4＜14/5をするような、ド派手な数値の手計算は結局必要なのか？)。
一応ね、大まかな解答の方針を書くと
6＜2π＜8に着目すると58/10＜e+π＜119/20=595/100を示すには
1/5＜π-e＜41/20=205/100
であることを示せばよい。そこで1/5＜π-e＜41/20=205/100を示す。
2＜e＜3、3＜π＜4から
π-e＜2＜41/20=205/100 。
今、1/5＜π-eつまり1/(5π)＜1-e/πを示す。
3＜πから1/π＜1/3だから、2/3＜1-e/π。
また、1/π＜1/3から、1/(5π)＜1/15
であって、1/15＜2/3。
よって、1/(5π)と1-e/πの大小関係は
1/(5π)＜1-e/π。
これで1/5＜π-eが示されて、結局1/5＜π-e＜41/20を得る。
6＜2π＜8、e+π=2π-(π-e)だから、1/5＜π-e＜41/20に注意すると、
58/10＜e+π(0＜d＜1/5なる有理数dを任意にとって考える)、
e+π＜119/20=595/100(41/20＜d＜58/10なる有理数dを任意にとって考える)がどちらも背理法で示せる。
これで、58/10＜e+π＜119/20=595/100、即ち5.8<e+π<5.95が示せた。