>>7
ごめんｗ見間違えてた

ってか2{x+(3y+2z)/2}^2-(3/2)(y+5z/3)^2+43z^2/6 これxの二次関数の平方完成表記になってるから、
y,z固定したと見れば 与式はx=-(3y+2z)/2で最小値-3(y+5z/3)^2 +43z^2/6 をとる。
この最小値が負であるようなy,z≠0が存在すれば、y,zを固定したf(x,y,z)はx軸と二点で交わるから、x≠0なるf(x,y,z)=0を満たすxもあることになる。
そこで-3(y+5z/3)^2 +43z^2/6が負であればいいんだけど、
これはyの二次関数と見れば上に凸だから、zを固定して(たとえば1)十分に大きなy(z=1のときはたとえばy=1とかであれば十分)をとれば負の値（y=z=1なら-7/2）になる。・・・①

ここで与式にy=z=1を代入すれば、2(x+5/2)^2-7/2になる。これはx軸と交点を二つもつから、=0とすれば少なくともひとつはx≠0を満たす。(ちなみにx=(-5+-√7)/2)

①のとき、y,zの組み合わせは無限にあり、それによりxの値も定まるから、x,y,zの組み合わせは無限にある。

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2%7Bx%2B%283y%2B2z%29%2F2%7D%5E2-%283%2F2%29%28y%2B5z%2F3%29%5E2%2B43z%5E2%2F6%3D0
このページにはx,y,z=0のやつしか書いてないけどこれはInteger solution:整数解ってことね