>>119, >>120
p_n 〜 nlog(n) (n→∞) と 1＋x 〜 e^x ( x→ 0) を使うと

Π[p_i≦xlog(x)](1−1/p_i) 〜 1/log(x) (x→∞)

が出るので、Σ[n≦m] x_n ＝ m^{0.9} となるように { x_k }_k を作れば反例になる。
このような x_k としては、単に階差をとって x_k ＝ k^{0.9} − (k−1)^{0.9} (k≧1) と
置けばよい。というわけで、あなたの後半は間違ってる