>>116
後半の話もしておきたい

Theorem3 を使って Theorem1 を証明するとあるが、
その証明は右辺の Π[p_i≦m](1−1/p_i) の項ばかりに注目していて、
左辺の μ の性質を もはや全く使ってないように見える。
もしそうなら、実数列 { x_k }_k が

Σ[n≦m] x_n ＝ O(mΠ[p_i≦m](1−1/p_i)) (Theorem3の類似品) … (あ)

を満たすとき、この不等式の右辺に対して全く同様の論法を使えば

Σ[n≦m] x_n ＝ O(m^{1/2＋ε}) (∀ε＞0) (Theorem1の類似品) … (い)

が証明できることになる。一方で、{ x_k }_k をイジワルに取れば、
(あ)を満たしつつも(い)は満たさないような例(反例)が明らかに作れるので、
結局、後半の議論のどこかに間違いが含まれていることになる
つまり、あなたの証明は後半部分も間違っていることになる